Question

integral tgx * sec^2x dx ?

Answer 1

Forma 1:

$\displaystyle\int\!\mathrm{tg\,}x\cdot \sec^2 x\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right )^{\!\!2}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{1}{\cos^3 x}\cdot \mathrm{sen\,}x\,dx\\\\\\=-\int\!\frac{1}{\cos^3 x}\cdot (-\mathrm{sen\,}x)\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Fazendo a substituição:

$\cos x=u~~\Rightarrow~~-\mathrm{sen\,}x\,dx=du$


Substituindo, a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$\displaystyle=-\int\!\frac{1}{u^3}\,du\\\\\\ =-\int\!u^{-3}\,du\\\\\\ =-\frac{u^{-3+1}}{-3+1}+C\\\\\\ =-\frac{u^{-2}}{-2}+C\\\\\\ =\frac{1}{2}\,u^{-2}+C\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{u^2}+C\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}+C$

$=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{\cos x} \right )^{\!\!2}+C\\\\\\ =\dfrac{1}{2}\sec^2 x+C~~~~\checkmark$

_________

Forma 2:

Lembrando-se que a derivada de $\mathrm{tg\,}x$ é $\sec^2 x:$

$\displaystyle\int\!\mathrm{tg\,}x\cdot \sec^2 x\,dx$


Se fizermos a substituição

$\mathrm{tg\,}x=u~~\Rightarrow~~\sec^2 x\,dx=du$


a integral fica

$=\displaystyle\int\!u\,du\\\\\\ =\frac{u^2}{2}+C\\\\\\ =\frac{\mathrm{tg^2\,}x}{2}+C~~~~\checkmark$

_______

Obs.: Ambos os resultandos estão corretos. As primitivas encontradas se diferem por uma constante

(lembre-se da identidade trigonométrica que relaciona tangente e secante de um arco)


Bons estudos! :-)