Question

Integral por Frações Parciais:

$\int\ {\frac{1}{x(x^{2}+1) } } \, dx$

Answer 1

Fazendo a separação em frações parciais, temos que a nossa integral resulta em:

$ln(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})+C$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a fração:

$\frac{1}{x(x^2+1)}$

Primeiramente vamos separa-la da forma:

$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

Onde A, B e C são constante que inventamos para que esta soma seja possível, assim A, B e C tem que fazer sentido depois de somarmos as frações, ou seja:

$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{1}{x(x^2+1)}$

Executando esta soma:

$\frac{Ax^2+Bx^2+Cx+A}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x(x^2+1)}$

$\frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x(x^2+1)}$

Vemos que para esta igualdada fazer sentido:

A + B = 0

C = 0

A = 1

Logo

B = -1

Então:

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$

Agora podemos facilmente integrar estas funções:

$\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{x}{x^2+1}dx$

$ln(x)-\frac{ln{x^2+1}}{2}+C$

$ln(x)-ln(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}+C$

$ln(x)-ln(\sqrt{x^2+1})+C$

$ln(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})+C$

Então este é o resultado na nossa integral.