Question

integral lnx / x lnx^2 dx​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{ \ln(x)}{x. \ln(x {}^{2} )} dx$

Primeiro vamos aplicar uma propriedade de logarítmos, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \log(a) {}^{b} = b. \log(a) }$

Aplicando essa propriedade, temos que:

$\ln(x {}^{2} ) = ( \ln(x )) {}^{2} = 2 \ln(x)$

Substituindo essa nova expressão:

$\int \frac{ \ln(x)}{x. 2\ln(x)} dx \longrightarrow \int \frac{1}{2} . \frac{ \ln(x)}{ x.\ln(x)}dx \\ \\ \frac{1}{2} \int \frac{ \ln(x)}{x. \ln(x)} dx\longrightarrow \frac{1}{2 } \int \frac{1}{x} dx \: \: \: \: \: \: \: \:$

Essa integral é conhecida (imediata):

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \int \frac{1}{u} du = \ln( |x| ) + k}$

Aplicando essa integral imediata:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{\frac{1}{2} . \ln( |x| ) + k}}$

Espero ter ajudado