Question

INTEGRAL

Integral de arc tg 3x x dx​

Answer 1

Fórmulas;

Integral por partes:

$\int {f(x)*g'(x)} \, dx=f(x)*g(x)-\int{f'(x)*g(x)}\,dx$

Derivada de arctg(ax):

$[arctg(ax)]'=\frac{a}{a^2+x^2}$

Resolução:

Primeiro, usando a fórmula de integral por partes;

$\int\limits {arctg(3x)*x} \, dx \\=\int\limits {arctg(3x)*(\frac{x^2}{2})' } \, dx\\=arctg(3x)*\frac{x^2}{2}-\int{(arctg(3x))'*\frac{x^2}{2}}\, dx \\=arctg(3x)*\frac{x^2}{2}-\int{\frac{3}{x^2+3^2} *\frac{x^2}{2}}\, dx$

Agora, vou focar apenas na segunda integral e depois juntar as respostas;

$\int{\frac{3}{x^2+3^2} *\frac{x^2}{2}}\, dx\\=\frac{3}{2} \int{\frac{x^2}{x^2+9}\, dx\\=\frac{3}{2} \int{\frac{(x^2+9)-9}{x^2+9}\, dx\\=\frac{3}{2} \int{\frac{x^2+9}{x^2+9}-\frac{9}{x^2+9}\, dx\\=\frac{3}{2} \int{(1-\frac{9}{x^2+9})\, dx$

$=\frac{3}{2}[x-3*arctg(3x)]+C\\\\=\frac{3x}{2} -\frac{9}{2}arctg(3x)+C$

Com isso, a resposta é:

$\int\limits {arctg(3x)*x} \, dx \\\\=arctg(3x)*\frac{x^2}{2}-(\frac{3x}{2} -\frac{9}{2}arctg(3x))+C\\\\=\frac{1}{2} arctg(3x)(x^2+9)-\frac{3}{2}x+C$

Se estiver com alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^~