Question

Integral indeterminador

Answer 1

$\int (\frac{1}{x} - \frac{5}{x^2+1}) dx$

a integral de uma soma é a soma das integrais então podemos reescrever como
$\int \frac{1}{x} dx -\int \frac{5}{x^2+1} \\\\\boxed{\boxed{\int \frac{1}{x} dx -5*\int \frac{1}{x^2+1}dx}}$

resolvendo a primeira integral
$\boxed{\int \frac{1}{x} dx = ln(x)}$

a espressão fica
$\boxed{ ln(x)-5*\int \frac{1}{x^2+1}dx}$


resolvendo a segunda integral
$\boxed{\int \frac{1}{x^2+1} dx}$

ela ja é tabelada o resultado é arctg(x)

mas se vc fosse calcular
faz a substituiçao
$\boxed{x=tg(u)}$

$\boxed{dx=sec^2(u).du}$

fica
$\int \frac{1}{1+(tg(u))^2} *sec^2(u).du$

mas 1+tg²(u) = sec²(u)

ficando

$\int \frac{1}{sec^2(u)} *sec^2(u).du\\\\=\int 1du = u+C$

voltando para a variavel x
como
x=tg(u)
arctg(x) = u

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$\boxed{\int \frac{1}{x^2+1} dx=arctg(x)+C}}$

resposta
$\boxed{\boxed{\int\left ( \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2+1} \right )dx = ln(x)-5*arctg(x)+C}}$