Question

INTEGRAL INDEFINIDA POR FRAÇÕES PARCIAIS:

∫(3x-1)/(x^2-x+1) dx

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int \frac{3x-1}{x^2-x+1}\,dx$


O denominador é um polinômio quadrático irredutível, pois ao calcular o discriminante  ∆,  este dá negativo.

Então, não há decomposição em frações parciais a se fazer. Vamos manipular o numerador, de modo que apareça propositalmente a derivada do denominador:

     $\displaystyle\int \frac{3x-1}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\int \frac{3(x-\frac{1}{3})}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =3\int \frac{x-\frac{1}{3}}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =3\int \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{x-\frac{1}{3}}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =3\cdot \frac{1}{2}\int\frac{2(x-\frac{1}{3})}{x^2-x+1}\,dx$

     $\displaystyle=\frac{3}{2}\int\frac{2x-\frac{2}{3}}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-\frac{2}{3}-1+1}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-1-\frac{2}{3}+1}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-1+\frac{1}{3}}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx+\frac{3}{2}\int\frac{\frac{1}{3}}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx\\\\\\ =\frac{3}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}\,dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2-x+1}\,dx\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Para a integral que aparece na  1ª  parcela da soma acima,  faça uma substituição simples:

     $x^2-x+1=u\quad\Rightarrow\quad (2x-1)\,dx=du$

e para a integral que aparece na  2ª parcela, reescrevemos o denominador como uma soma de quadrados, completando os quadrados. Esta última será expressa em termos de arco-tangente  (ver observação ao final):

     $x^2-x+1\\\\ =x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\\\\\\ =x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\\\\\\ =\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{\!2}+\bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^{\!2}$


e a integral  (i)  fica

     $\displaystyle=\frac{3}{2}\int\frac{du}{u}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^2}\,dx\\\\\\ \vdots\\\\\\ =\frac{3}{2}\ln |u|+\frac{1}{2}\cdot \bigg[\frac{1}{~\frac{\sqrt{3}}{2}~}\,\mathrm{arctg}\!\bigg(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\bigg)\bigg]+C$

     $=\dfrac{3}{2}\ln (x^2-x+1)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$

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     •   Observação:  Para computar integrais da forma

     $\displaystyle\int\frac{1}{w^2+a^2}\,dw\,,\qquad\qquad a>0$


usamos uma substituição trigonométrica:

     $w=a\,\mathrm{tg\,}\theta\quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} dw=a\sec^2 \theta\,d\theta\\\\ \theta=\mathrm{arctg}\!\left(\dfrac{w}{a}\right) \end{array} \right.$


de modo que

     $w^2+a^2=(a\,\mathrm{tg\,}\theta)^2+a^2\\\\ w^2+a^2=a^2\,\mathrm{tg^2\,}\theta+a^2\\\\ w^2+a^2=a^2\cdot (\mathrm{tg^2\,}\theta+1)\\\\ w^2+a^2=a^2\sec^2\theta$


e essa integral padrão fica

     $\displaystyle\int\frac{1}{a^2\sec\theta}\cdot a\sec\theta\,d\theta\\\\\\ =\int\frac{a}{a^2}\,d\theta\\\\\\ =\frac{1}{a}\int d\theta\\\\\\ =\frac{1}{a}\cdot \theta+C\\\\\\ =\frac{1}{a}\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{w}{a}\right)+C$


Por isso, o resultado acima

     $\displaystyle\int\frac{1}{w^2+a^2}\,dw=\frac{1}{a}\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{w}{a}\right)+C$


foi usado nesta tarefa em específico, com

     $w=x-\dfrac{1}{2}$   e   $a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

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          $\displaystyle\int \frac{3x-1}{x^2-x+1}\,dx=\frac{3}{2}\ln (x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\,\mathrm{arctg}\!\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)