Question

integral indefinida de ∫ x. sen 4x dx?

Answer 1

• Através dos devidos cálculos, temos que o resultado da integral dada é igual a:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf -\frac{x}{4}\cos(4x) +\frac{1}{16} \sin(4x) +C \end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte integral indefinida:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int x\sin(4x)dx \end{gathered}$

E para isso, perceba que temos uma integral de um produto de duas funções, logo, devemos utilizar o método da integração por partes, que é dado da seguinte forma:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \boxed{\sf \int u dv=uv-\int vdu }\end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u=x\ \ \ \ \ \|\ \ dv= \sin(4x)dx\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du=dx\ \ \|\ \ \ v= -\frac{1}{4}\cos \left(4x\right)\end{gathered}$

E dessa forma, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int x\sin(4x)dx=-\frac{x}{4}\cos(4x) -\int -\frac{1}{4}\cos(4x) dx \end{gathered}$

E pela linearidade:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int x\sin(4x)dx=-\frac{x}{4}\cos(4x) +\frac{1}{4}\int \cos(4x) dx \end{gathered}$

Perceba que surgiu uma outra integral, vamos então resolve-lá separadamente.

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int \cos(4x) dx \end{gathered}$

Aplicando o método da substituição simples, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\odot\ \tt u=4x\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\odot\ \tt du=4dx\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\odot\ \tt \frac{du}{4}=dx\end{gathered}$

Ficando por fim:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int \cos(4x) dx = \int \cos(u)\frac{du}{4} =\frac{1}{4} \int \cos(u)du\end{gathered}$

E como sabemos bem, a integral do cosseno é o seno.

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore\boxed{\sf \int \cos(4x) dx =\frac{1}{4}\sin(4x)+C}\end{gathered} }$

E com isso, logo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int x\sin(4x)dx=-\frac{x}{4}\cos(4x) +\frac{1}{4}\int \cos(4x) dx \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \int x\sin(4x)dx=-\frac{x}{4}\cos(4x) +\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4} \sin(4x)\right) \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxplus\ \green{\underline{\boxed{\sf \int x\sin(4x)dx=-\frac{x}{4}\cos(4x) +\frac{1}{16} \sin(4x) +C }}}\end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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