Question

Integral indefinida de (x^2+1)/(x^2) resolvida passo a passo?

Answer 1

$\int\{ \frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } \, dx$

Existe uma propriedade das frações que diz o seguinte: quando se adiciona uma fração a outra em que ambas possuam o mesmo denominador, devemos conservar o denominador e adicionar os dois numeradores)

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$  com a, b e c inteiros e b diferente de zero.

Então poderemos separar essa fração em duas:

$\int\ \frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } \, dx = \int\ { ( \frac{ x^{2} }{ x^{2} } + \frac{1}{ x^{2} } }) \, dx =\int\ { ( 1 + x^{-2} ) \, dx$

Agora basta se lembrar que a integral de uma soma é a soma das integrais. Então poderemos desmembrar essa integral em outras duas:

$\int\ { ( 1 + x^{-2} ) \, dx =\int\ { 1} \, dx + \int\ {x^{-2}} \, dx$

Agora só integrar:

$\int\ { 1} \, dx + \int\ {x^{-2}} \, dx \\ \\ x + C_{1} + \frac{ x^{-2+1} }{-2+1} +C_{2} \\ \\ x + C_{1} + \frac{ x^{-1} }{-1} +C_{2} \\ \\ x + C_{1} - \frac{ 1 }{x} +C_{2} \\ \\ x - \frac{ 1 }{x} + C_{1} +C_{2}$

Como C1 e C2 ao constantes, sua soma também será uma constante, chamaremos sim-lesmente de C

$x - \frac{ 1 }{x} + C_{1} +C_{2} \\ \\ x - \frac{ 1 }{x} + C$

Espero ter ajudado