Question

integral indefinida de função elevada a expoente
$integral \: de \: {(3x - 5)}^{2} .dx$

Answer 1

Resolver a integral indefinida

     $\mathsf{ \displaystyle \int {(3x-5)^{2}} \, \cdot dx}$


1º jeito

Fazendo a seguinte substituição

     $\mathsf{u=(3x-5)}$

Vem:

     $\mathsf{ \displaystyle \int {u^{2}} \, \cdot dx}$

Usando a integral imediata:

     $\mathsf{\displaystyle\int{^{n}} \, \cdot dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$     com n ∈ R e n ≠ -1

Vem:

        $\mathsf{\dfrac{u^{2+1}}{2+1}+C}$

     $\mathsf{=\dfrac{u^{3}}{3}+C}$

  $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{=\dfrac{(3x-5)^{3}}{3}+C}\end{array}}$


2º jeito

Desenvolvendo o produto e usando a propriedade de soma das integrais

   $\mathsf{ =\displaystyle \int {(9x^{2}-30x+25)} \, \cdot dx}$

   $\mathsf{ =\displaystyle \int {9x^{2}} \, \cdot dx-\int\limits {30x} \, \cdot dx+\int\limits {25} \, \cdot dx}$

   $\mathsf{ =9\cdot \displaystyle \int {x^{2}} \, \cdot dx-30\cdot \int\limits {x} \, \cdot dx+25\cdot \int\limits {\ } \, dx}$


Usando a integral imediata:

     $\mathsf{\displaystyle\int{x^{n}} \, \cdot dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$     com n ∈ R e n ≠ -1


Vem:

      $\mathsf{ 9\cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1}-30\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+25x+C}$

   $\mathsf{ =9\cdot \dfrac{x^{3}}{3}-30\cdot \dfrac{x^{2}}{2}+25x+C}$

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{ =3x^{3}-15x^{2}+25x+C}\end{array}}$


Bons estudos! =)