Question

Integral indefinida de {1/x dx

Answer 1

Resposta: $\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.$

Explicação passo a passo:

Esta é uma integral imediata, cujo resultado é $\ln |x|+C.$

Para encontrar tal resultado, faça a seguinte substituição:

• Para x > 0

$x=e^t\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}dx=e^t\,dt\\\\ t=\ln x \end{array}\right.$

e substituindo, a integral fica

$\displaystyle=\int \frac{1}{e^t}\cdot e^t\,dt\\\\\\ =\int 1\,dt\\\\\\ =t+C$

e substituindo de volta para a variável x, chegamos a

$=\ln x+C\qquad\mathrm{(i)}$

• Para x < 0

O desenvolvimento da integral para x < 0 é análogo, fazendo a substituição

$x=-\,e^t\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}dx=-\,e^t\,dt\\\\ t=\ln(-x) \end{array}\right.$

e após substituir e desenvolver os cálculos, chegamos ao resultado para a integral

$=\ln (-x)+C\qquad\mathrm{(ii)}$

Logo, para todo x diferente de zero, temos o resultado abaixo:

$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\left\{\begin{array}{ll}\ln x+C,&\mathrm{se~}x>0\\\\ \ln(-x)+C, & \mathrm{se~}x<0\end{array} \right.$

e para evitarmos expressar esse resultado em duas sentenças, usamos o módulo na expressão:

$\Longleftrightarrow\quad\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\qquad\checkmark$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)