Question

Integral em cálculo 3 de linha
integral de linha xydx + ydy onde C ´e o arco do c´ırculo x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante de (2, 0) a (0, 2).

Answer 1

Cometi um erro na resposta (esqueci de fechar a região para aplicar o Teorema de Green). Veja que o trabalho que tive foi bem maior do que o que teria se tivesse simplesmente resolvido a integral com a forma paramétrica da curva, então se baseie na resposta do Carlosmath! Em alguns casos vale a pena fechar a região, em outros não.
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Temos que trabalhar com uma curva fechada para poder aplicar o Teorema de Green. Podemos utilizar a seguinte curva:

$\phi=C\cup C_{1}\cup C_{2}$

Onde $C$ é a curva dada, $C_{1}$ é o segmento que liga o ponto (0,2) ao ponto (0,0), e $C_{3}$ é o segmento que liga o ponto (0,0) ao ponto (2,0)

Encontramos as parametrizações dessas curvas facilmente:

$C_{1}(t)=(0,2-t),~0\le t\le2\\\\C_{2}(t)=(t,0),~0\le t\le2$

$\displaystyle\int_{\gamma}xy\,dx+y\,dy=\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\bigg[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg]\,dx\,dy$

Encontrando as derivadas parciais de P e Q necessárias:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0\\\\\\\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x\\\\\\\Rightarrow~\boxed{\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-x}$

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$\displaystyle\int_{\gamma}xy\,dx+y\,dy=\iint_{D}(-x)\,dx\,dy$

Como o domínio possui simetria radial (já que é parte da circunferência), então podemos usar coordenadas polares

Nesse sentido, o raio $\rho$ varia de $0$ a $2$, e o ângulo $\theta$ varia de $0$ a $\pi/2$ (pois estamos trabalhando com a parte da circunferência no primeiro quadrante)

Daí

$\displaystyle\int_{\gamma}xy\,dx+y\,dy=-\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}(\rho\,cos\,\theta)\rho\,d\theta\,d\rho\\\\\\=-\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}\rho^{2}\cos\,\theta\,d\theta\,d\rho=-\bigg[\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho\bigg]\bigg[\int_{0}^{\pi/2}cos\,\theta\,d\theta\bigg]\\\\\\=-\bigg[\dfrac{\rho^{3}}{3}\bigg|_{0}^{2}\bigg]\bigg[sen\,\theta\bigg|_{0}^{\pi/2}\bigg]=-\bigg[\dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}\bigg]\bigg[sen(\pi/2)-sen(0)\bigg]\\\\\\=-\dfrac{8}{3}\cdot sen(\pi/2)=-\dfrac{8}{3}$
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Mas, esse não é o resultado que queremos.

Queremos encontrar $\int_{C}P\,dx+Q\,dy$ e temos $\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy$

Note que

$\displaystyle\displaystyle\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy+\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy\\\\\\=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+\int_{C_{1}}F\cdot dC_{1}+\int_{C_{2}}F\cdot dC_{2}$

Encontraremos as duas últimas integrais normalmente:

$\displaystyle\int_{C_{1}}F\cdot dC_{1}=\int_{0}^{2}F(C_{1}(t))\cdot C'_{1}(t)\,dt=\int_{0}^{2}(0(2-t),~2-t)\cdot(0,-1)\,dt\\\\\\=\int_{0}^{2}(0,2-t)\cdot(0,-1)\,dt=\int_{0}^{2}[0\cdot0+(2-t)\cdot(-1)]\,dt=\int_{0}^{2}(t-2)\,dt\\\\\\=\bigg[\dfrac{t^{2}}{2}-2t\bigg]_{0}^{2}~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{\int_{C_{1}}F\cdot dC_{1}=-2}}$

$\displaystyle\int_{C_{2}}F\cdot dC_{2}=\int_{0}^{2}F(C_{2}(t))\cdot C'_{2}(t)\,dt=\int_{0}^{2}}(t\times0,0)\cdot(1,0)\,dt\\\\\\=\int_{0}^{2}(0,0)\cdot(1,0)\,dt=\int_{0}^{2}0\,dt~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{\int_{C_{2}}F\cdot dC_{2}=0}}$

Finalmente:

$\displaystyle\int_{\gamma}F\cdot d\gamma=-\dfrac{8}{3}\\\\\\\int_{C}F\cdot dC+\int_{C_{1}}F\cdot dC_{1}+\int_{C_{2}}F\cdot dC_{2}=-\dfrac{8}{3}\\\\\\\int_{C}F\cdot dC-2+0=-\dfrac{8}{3}\\\\\\\int_{C}F\cdot dC=-\dfrac{8}{3}+2\\\\\\\int_{C}F\cdot dC=\dfrac{-8+6}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{\int_{C}F\cdot dC=-\dfrac{2}{3}}}$

Answer 2

Aquí outra forma

$\texttt{Seja: }\\x=2\cos t\\ y=2\sin t\\ \\ \\ \texttt{ent\~ao: }\\ \\ xy\,dx+y\,dy=(2\cos t)(2\sin t)\, d(2\cos t)+2\sin t\,d(2\sin t)\\ \\ xy\,dx+y\,dy=(-8\sin^2t\cos t+4\sin t\cos t)\, dt\\ \\ \\ \displaystyle \int_Cxy\,dx+y\,dy=\int\limits_{0}^{\pi/2}(-8\sin^2t\cos t+4\sin t\cos t)\, dt$


$\displaystyle \int_Cxy\,dx+y\,dy=-8\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^2t\cos t\,dt+4\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt\\ \\ \\ \int_Cxy\,dx+y\,dy=-8\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin^2t\,d(\sin t)+4\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin t\,d(\sin t)\\ \\ \\ \int_Cxy\,dx+y\,dy=-8\left.\left(\dfrac{\sin^3t}{3}\right)\right|_{0}^{\pi/2}+4\left.\left(\dfrac{\sin^2t}{2}\right)\right|_{0}^{\pi/2}\\ \\ \\ \int_Cxy\,dx+y\,dy=-\dfrac{8}{3}+2\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\int_Cxy\,dx+y\,dy=-\dfrac{2}{3}}}$