Question

integral e^x.cos(x/2)dx ?

Answer 1

$\int\ {e^xcos(\frac{x}{2})} \, dx$

u=cos(x/2)
dv=e^x dx
du=-sin(x/2)/2 dx
v=e^x

$\int\ {u} \, dv =uv- \int\ {v} \, du$

$e^xcos(\frac{x}{2})- \int\ {\frac{-e^xsin(\frac{x}{2})}{2}} \, dx$

$e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12\int\ {e^xsin(\frac{x}{2})} \, dx$

u=sin(x/2)
dv=e^xdx
du=cos(x/2)/2dx
v=e^x

$e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12(e^xsin(\frac{x}{2})- \int\ {\frac{e^xcos(\frac{x}{2})}{2}} \, dx )$

$e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12(e^xsin(\frac{x}{2})- \frac12\int\ {e^xcos(\frac{x}{2})} \, dx )$

$\int\ {e^xcos(\frac{x}{2})} \, dx=e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12(e^xsin(\frac{x}{2})- \frac12\int\ {e^xcos(\frac{x}{2})} \, dx )$

$\int\ {e^xcos(\frac{x}{2})} \, dx=a$

$a=e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12(e^xsin(\frac{x}{2})- \frac12a )$

$a=e^xcos(\frac{x}{2})+ \frac12e^xsin(\frac{x}{2})- \frac14a$

$4a=4e^xcos(\frac{x}{2})+ 2e^xsin(\frac{x}{2})-a$

$5a=4e^xcos(\frac{x}{2})+ 2e^xsin(\frac{x}{2})$

$a=\frac{4e^xcos(\frac{x}{2})+ 2e^xsin(\frac{x}{2})}{5}$

$\frac{4e^xcos(\frac{x}{2})+ 2e^xsin(\frac{x}{2})}{5}+C$

Answer 2

Com o estudo sobre integração por partes, temos como resposta

$2\displaystyle\left(\frac{1}{5}e^x\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2}{5}e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)+C$

Integração por partes

A integração por partes é usada para integrar o produto de duas ou mais funções. As duas funções a serem integradas f(x) e g(x) são da forma ∫f(x).g(x). Assim, pode ser chamado de regra do produto de integração. Entre as duas funções, a primeira função f(x) é selecionada tal que sua fórmula derivada exista, e a segunda função g(x) é escolhida tal que existe uma integral de tal função.

$\displaystyle\int f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx=f\left(x\right)\int g\left(x\right)dx-\int \left(f'\left(x\right)\int g\left(x\right)dx\right)dx+C$

Na integração por partes, a fórmula é dividida em duas partes e podemos observar a derivada da primeira função f(x) na segunda parte, e a integral da segunda função g(x) em ambas as partes. Para simplificar, essas funções são frequentemente representadas como 'u' e 'v' respectivamente. A integração da fórmula uv usando a notação de 'u' e 'v' é:

$\displaystyle\int \:u\:dv\:=\:uv\:-\:\int \:v\:du.$

Sendo assim podemos resolver o exercício

$\displaystyle\int \:e^x\cdot \:cos\left(\frac{x}{2}\right)dx$

$=\displaystyle\int \:e^{2u}\cos \left(u\right)\cdot \:2du$

$\mathrm{Remover\:a\:constante}:\displaystyle\quad \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx$

$=2\displaystyle\cdot \int \:e^{2u}\cos \left(u\right)du$

$=2\displaystyle\left(e^{2u}\sin \left(u\right)-\int \:e^{2u}\cdot \:2\sin \left(u\right)du\right)$

$=2\displaystyle\left(e^{2u}\sin \left(u\right)-2\cdot \int \:e^{2u}\sin \left(u\right)du\right)$

$=2\displaystyle\left(e^{2u}\sin \left(u\right)-2\left(-e^{2u}\cos \left(u\right)-\int \:-2e^{2u}\cos \left(u\right)du\right)\right)$

$=2\displaystyle\left(e^{2u}\sin \left(u\right)-2\left(-e^{2u}\cos \left(u\right)-\left(-2\cdot \int \:e^{2u}\cos \left(u\right)du\right)\right)\right)$

$=2\displaystyle\left(\frac{e^{2u}\sin \left(u\right)}{5}+\frac{2e^{2u}\cos \left(u\right)}{5}\right)$

$=2\displaystyle\left(\frac{e^{2\cdot \frac{x}{2}}\sin \left(\frac{x}{2}\right)}{5}+\frac{2e^{2\cdot \frac{x}{2}}\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{5}\right)$

$=2\displaystyle\left(\frac{1}{5}e^x\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2}{5}e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$

$=2\displaystyle\left(\frac{1}{5}e^x\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2}{5}e^x\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)+C$

Saiba mais sobre integração por partes:https://brainly.com.br/tarefa/6211392

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