Question

Integral dupla (x *e^xy) dA onde R=[ 0,1] x [0,1]

Answer 1

Resposta:

Se for ∫y* ∫ x *e^x dx dy     R=[ 0,1] x [0,1]

∫ x *e^x dx

Por partes

u = x ==>du=dx

dv = e^x dx ==> ∫ dv = ∫e^x dx ==> v =e^(x)

∫ x *e^x dx = x*e^(x) - ∫e^(x) dx =x*e^(x)- e^(x)

para 0 até 1 ==> 1*e¹-e¹-[0*e^(0) -e^(0)] = 1  

∫y  dy     R= [0,1]

=para 0 até 1 (y²/2)  = 1/2  é a resposta

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Se for  ∫∫ x *e^(xy) dx dy R=[ 0,1] x [0,1]

∫ x *e^(xy) dy

u=xy ==>du=x dy

∫ x *e^(u) du/x

∫e^(u) du =e^(u)

sabemos que u =xy

e^(xy) R [ 0,1]

=e^(x) -e^(0)  =e^(x) - 1

∫ e^(x) - 1 dx  

e^(x)-x  R [ 0,1]

= e¹-1 - e^(0) + 0

=e¹-1-1

= e-2  é a resposta  

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{e-2~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a seguinte integral dupla de coordenadas retangulares, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int\int x\cdot e^{xy}\,dA$, tal que $R=[0,~1]\times [0,~1]$.

Neste caso, veja que as coordenadas são iguais. Assim, qualquer ordem de integração estará correta, de acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas.

Fazendo $dA=dydx$, teremos a integral

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^1x\cdot e^{xy}\,dy\,dx$

Fazemos uma substituição no integrando: $u=xy$. Diferenciamos ambos os lados da expressão, em respeito à variável $y$, para encontrarmos o diferencial:

$\partial_yu=\partial_y(xy)\\\\\\ du=x\,dy$.

Lembre-se que os limites devem ser alterados com a substituição: quando $y\rightarrow 0,~u\rightarrow 0$ e quando $y\rightarrow 1,~u\rightarrow x$.

Assim, a integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^xe^{u}\,du\,dx$

Para calcularmos a integral mais interna, lembre-se que:

• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$.
• A integral definida de uma função contínua em um dado intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Dessa forma, teremos:

$\displaystyle{\int_0^1e^{u}~\biggr|_0^x\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^1e^{x}-e^0\,dx$

Lembre-se que $e^0=1$, logo

$\displaystyle{\int_0^1e^{x}-1\,dx$

Sabendo que integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais, temos

$\displaystyle{\int_0^1e^{x}\,dx-\int_0^11\,dx$

Lembre-se que $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx$ e aplique a propriedade da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

$e^{x}~\biggr|_0^1-x~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$e^{1}-e^0-(1-(-0))$

Calcule as potências e some os valores

$e-2$

Este é o resultado desta integral.