Integral dupla (x *e^xy) dA onde R=[ 0,1] x [0,1]
Soluções para a tarefa
Resposta:
Se for ∫y* ∫ x *e^x dx dy R=[ 0,1] x [0,1]
∫ x *e^x dx
Por partes
u = x ==>du=dx
dv = e^x dx ==> ∫ dv = ∫e^x dx ==> v =e^(x)
∫ x *e^x dx = x*e^(x) - ∫e^(x) dx =x*e^(x)- e^(x)
para 0 até 1 ==> 1*e¹-e¹-[0*e^(0) -e^(0)] = 1
∫y dy R= [0,1]
=para 0 até 1 (y²/2) = 1/2 é a resposta
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Se for ∫∫ x *e^(xy) dx dy R=[ 0,1] x [0,1]
∫ x *e^(xy) dy
u=xy ==>du=x dy
∫ x *e^(u) du/x
∫e^(u) du =e^(u)
sabemos que u =xy
e^(xy) R [ 0,1]
=e^(x) -e^(0) =e^(x) - 1
∫ e^(x) - 1 dx
e^(x)-x R [ 0,1]
= e¹-1 - e^(0) + 0
=e¹-1-1
= e-2 é a resposta
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, bom dia.
Para calcularmos a seguinte integral dupla de coordenadas retangulares, devemos nos relembrar de algumas propriedades.
Seja a integral:
, tal que .
Neste caso, veja que as coordenadas são iguais. Assim, qualquer ordem de integração estará correta, de acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas.
Fazendo , teremos a integral
Fazemos uma substituição no integrando: . Diferenciamos ambos os lados da expressão, em respeito à variável , para encontrarmos o diferencial:
.
Lembre-se que os limites devem ser alterados com a substituição: quando e quando .
Assim, a integral se torna:
Para calcularmos a integral mais interna, lembre-se que:
- A integral da função exponencial é a própria função exponencial: .
- A integral definida de uma função contínua em um dado intervalo é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: .
Dessa forma, teremos:
Aplique os limites de integração
Lembre-se que , logo
Sabendo que integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais, temos
Lembre-se que e aplique a propriedade da potência: .
Aplique os limites de integração
Calcule as potências e some os valores
Este é o resultado desta integral.