Matemática, perguntado por srms, 8 meses atrás

Integral dupla (x *e^xy) dA onde R=[ 0,1] x [0,1]


srms: xe^xy

Soluções para a tarefa

Respondido por EinsteindoYahoo
0

Resposta:

Se for ∫y* ∫ x *e^x dx dy     R=[ 0,1] x [0,1]

∫ x *e^x dx

Por partes

u = x ==>du=dx

dv = e^x dx ==> ∫ dv = ∫e^x dx ==> v =e^(x)

∫ x *e^x dx = x*e^(x) - ∫e^(x) dx =x*e^(x)- e^(x)

para 0 até 1 ==> 1*e¹-e¹-[0*e^(0) -e^(0)] = 1  

∫y  dy     R= [0,1]

=para 0 até 1 (y²/2)  = 1/2  é a resposta

_____________________________________

Se for  ∫∫ x *e^(xy) dx dy R=[ 0,1] x [0,1]

∫ x *e^(xy) dy

u=xy ==>du=x dy

∫ x *e^(u) du/x

∫e^(u) du =e^(u)

sabemos que u =xy

e^(xy) R [ 0,1]

=e^(x) -e^(0)  =e^(x) - 1

∫ e^(x) - 1 dx  

e^(x)-x  R [ 0,1]

= e¹-1 - e^(0) + 0

=e¹-1-1

= e-2  é a resposta  


srms: obrigada
Respondido por SubGui
1

Resposta:

\boxed{\bold{e-2~u.~a}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a seguinte integral dupla de coordenadas retangulares, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

\displaystyle{\int\int x\cdot e^{xy}\,dA, tal que R=[0,~1]\times [0,~1].

Neste caso, veja que as coordenadas são iguais. Assim, qualquer ordem de integração estará correta, de acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas.

Fazendo dA=dydx, teremos a integral

\displaystyle{\int_0^1\int_0^1x\cdot e^{xy}\,dy\,dx

Fazemos uma substituição no integrando: u=xy. Diferenciamos ambos os lados da expressão, em respeito à variável y, para encontrarmos o diferencial:

\partial_yu=\partial_y(xy)\\\\\\ du=x\,dy.

Lembre-se que os limites devem ser alterados com a substituição: quando y\rightarrow 0,~u\rightarrow 0 e quando y\rightarrow 1,~u\rightarrow x.

Assim, a integral se torna:

\displaystyle{\int_0^1\int_0^xe^{u}\,du\,dx

Para calcularmos a integral mais interna, lembre-se que:

  • A integral da função exponencial é a própria função exponencial: \displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}.
  • A integral definida de uma função contínua em um dado intervalo [a,~b] é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: \displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a).

Dessa forma, teremos:

\displaystyle{\int_0^1e^{u}~\biggr|_0^x\,dx

Aplique os limites de integração

\displaystyle{\int_0^1e^{x}-e^0\,dx

Lembre-se que e^0=1, logo

\displaystyle{\int_0^1e^{x}-1\,dx

Sabendo que integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais, temos

\displaystyle{\int_0^1e^{x}\,dx-\int_0^11\,dx

Lembre-se que \displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx e aplique a propriedade da potência: \displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

e^{x}~\biggr|_0^1-x~\biggr|_0^1

Aplique os limites de integração

e^{1}-e^0-(1-(-0))

Calcule as potências e some os valores

e-2

Este é o resultado desta integral.


srms: Vocês são demais em cálculo. Parabéns e obrigado .
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