Question

integral dupla (x *e^x) / y dydx onde R=[ 0,1] e [1,2]

Answer 1

Como a região de integração é um retângulo, podemos escolher arbitrariamente a ordem de integração, pois todos os extremos de integração em $x$ e em $y$ são constantes.


O domínio de integração é o retângulo

$R=\left\{(x,\;y)\in\mathbb{R}^{2}\left|\;\right.0\leq x\leq 1~\text{ e }~1\leq y\leq 2 \right \}$


Escrevendo a integral iterada, temos

$\displaystyle\iint\limits_{R}{\dfrac{xe^{x}}{y}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{xe^{x}}{y}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{1}^{2}{xe^{x}\cdot \dfrac{1}{y}\,dy\,dx}$


A princípio, a primitiva de $\dfrac{1}{y}\,dy$ é o logaritmo do módulo de $y.$ Mas como $y$ varia entre extremos positivos, podemos dispensar o módulo:

$\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\cdot \mathrm{\ell n}(y)|_{1}^{2}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\cdot \left[\mathrm{\ell n}(2)-\mathrm{\ell n}(1) \right ]\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\cdot \mathrm{\ell n}(2)\,dx}\\ \\ \\ =\mathrm{\ell n}(2)\int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Para calcular $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx},$ vamos utilizar o método de integração por partes:

$\begin{array}{ll} u=x~~&~~du=dx\\ \\ dv=e^{x}\,dx~~&~~v=e^{x} \end{array}\\ \\ \\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}{u\,dv}=uv|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{v\,du}\\ \\ \\ \int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx}=xe^{x}|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{e^{x}\,dx}\\ \\ \\ \int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx}=1\cdot e^{1}-e^{x}|_{0}^{1}\\ \\ \\ \int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx}=e^{1}-(e^{1}-e^{0})\\ \\ \\ \int\limits_{0}^{1}{xe^{x}\,dx}=1$


Substituindo em $\mathbf{(i)}$ o resultado encontrado acima, finalmente chegamos a

$\displaystyle\iint\limits_{R}{\dfrac{xe^{x}}{y}\,dy\,dx}=\mathrm{\ell n}(2)\cdot 1\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\iint\limits_{R}{\dfrac{xe^{x}}{y}\,dy\,dx}=\mathrm{\ell n}(2)\end{array}}$