Question

integral dupla (x^2+2y) dA, D é limitada por y=x, y=x², x>=0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{11}{60}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a seguinte integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D x^2+2y\,dA}$, devemos primeiro calcular a intersecção entre as curvas e analisar o gráfico.

Igualando as funções $y=x$ e $y=x^2$, temos

$x=x^2$

Subtraia $x$ em ambos os lados

$x^2-x=0$

Pondo $x$ em evidência:

$x\cdot (x-1)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

$x=0$ ou $x-1=0$

Dessa forma, somando 1 em ambos os lados da equação

$x=1$.

Neste intervalo, a variável $x$ satisfaz a condição $x\geq0$.

Observe a imagem: A função $y=x$  tem imagem maior durante todo o intervalo, logo consideramos os limites de integração definidos para $x^2\leq y\leq x$ e $0\leq x\leq 1$.

Isto é necessário pois de acordo com o Teorema de Fubini para integrais iteradas, deve-se respeitar uma ordem de integração. Integra-se por último a variável que está limitada entre dois números e primeiro a variável que está limitada por duas funções.

Logo, $dA=dy\,dx$ e nossa integral dupla se torna:

$\displaystyle{\int_0^1\int_{x^2}^{x} x^2+2y\,dy\,dx}$

Devemos relembrar algumas técnicas de integração.

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$.

Aplicando a primeira propriedade, teremos

$\displaystyle{\int_0^1\int_{x^2}^{x} x^2\,dy +\int_{x^2}^{x} 2y\,dy\,dx}$

Observe que a integral $\displaystyle{\int_{x^2}^{x} x^2\,dy}$ está definida para $y$, logo consideramos $x^2$ como uma constante. Ficaremos com:

$\displaystyle{\int_0^1x^2 \cdot \int_{x^2}^{x}\,dy +\int_{x^2}^{x} 2y\,dy\,dx}$

Então para integrar $\displaystyle{\int_{x^2}^{x}\,dy }$, considere $dy=y^0\,dy$ e integre a potência

$\displaystyle{\int_0^1x^2 \cdot y~\biggr|_{x^2}^x +\int_{x^2}^{x} 2y\,dy\,dx}$

Para a segunda integral, faça o mesmo com a constante e integre a potência:

$\displaystyle{\int_0^1x^2 \cdot y~\biggr|_{x^2}^x +2\cdot\dfrac{y^2}{2}~\biggr|_{x^2}^x\,dx}$

Aplique os limites de integração, sabendo que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$\displaystyle{\int_0^1x^2 \cdot (x-x^2) +2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{(x^2)^2}{2}\right)\,dx}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^1x^3-x^4+x^2-x^4\,dx}$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_0^1x^3+x^2-2x^4\,dx}$

Aplique a propriedade da potência

$\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^5}{5}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^4}{4}+\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{2\cdot1^5}{5}-\left(\dfrac{0^4}{4}+\dfrac{0^3}{3}-\dfrac{2\cdot0^5}{5}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}$

Some as frações

$\dfrac{15+20-24}{60}$

Some os valores

$\dfrac{11}{60}$

Este é o resultado desta integral.