Question

integral dupla 2y dxdy sendo r a regiao delimitada por y=x^2 , y=3x-2

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \int \int_R {(2y)} \, dxdy }}$

região R limitada por
$y=x^2\\\\y=3x-2$
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primeiro procurando os pontos de intersecção entre a curva e a reta

$x^2 =3x-2\\\\x^2 -3x+2 =0$

soma = 3
produto = 2

então
x'= 1
x'' = 2
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calculando o valor das duas funçoes no ponto médio do intervalo
para ver qual limita a area por cima e qual limita por baixo

para a parabola
$y =x^2\\\\y= (1,5)^2 = 2,25$

para a reta
$y= 3x-2\\\ y=3*1,5 -2= 2,5$

na metade do intervalo a reta está por cima da parabola
então temos
a reta limitando a região por cima
e a parabola limitando a região por baixo
e temos duas retas verticais (x=1 ;x=2) limitando a região de integração
deste modo podemos reescrever a ordem de integraçao para dy.dx
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$R = \begin{Bmatrix} 1 \leq x \leq 2\\\\ x^2 \leq y \leq 3x-2 \end{matrix}$

assim temos
$\boxed{\boxed{ \int\limits^2_1 {} \, dx \int\limits^{3x-2}_{x^2} {2y} \, dy }}$

resolvendo as integrais

$\int\limits^{3x-2}_{x^2} {2y} \, dy = 2 \frac{y^2}{2}= y^2$

calculando no intervalo
$(3x-2)^2 - (x^2)^2 \\\\=9x^2-12x+4 -x^4$

agora temos
$\int\limits^2_1 {} \, dx(9x^2-12x+4-x^4) \\\\\\ \boxed{\boxed{ \int\limits^2_1(9x^2-12x+4-x^4).dx}}$

integrando a função
$9 \frac{x^3}{3} - 12 \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{x^5}{5} \\\\=\boxed{3x^3-6x^2+4x- \frac{x^5}{5} }$

calculando pro intervalo
para x = 1
$3-6+4- \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

para x =2
$3*8-6*4+4*2- \frac{32}{5} = \frac{8}{5}$

então temos
$\frac{8}{5}- \frac{4}{5}= \frac{4}{5}$

resposta:
$\boxed{\boxed{ \int\limits^2_1 {} \, \int\limits^{3x-2}_{x^2} {2y} \, dydx = \frac{4}{5} }}$