Question

Integral Definida,
$\int\limits^1_0{ \frac{4}{1+ x^{2} } } \, dx$

Tentei resolver essa integral, mas meu resultado deu 4, e no gabarito está dando $\pi$ alguém pode me ajudar a explicar?

Segue em anexo, a questão e a minha tentativa de resolução:

Answer 1

Calcular a seguinte integral:

     $\mathsf{\displaystyle \int^1_0 \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$


Calculando a integral indefinida:

     $\mathsf{\displaystyle \int \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$

     $\mathsf{=\displaystyle 4\cdot \int \dfrac{1}{1+x^2}\cdot dx}$

     $\mathsf{=4\cdot arc\ tg\ (x)}$

Obs: Lembrando que a integração é o inverso da derivação, essa é uma derivada imediata pois basta saber que  $\mathsf{\dfrac{d}{dx}(arc\ tg\ (x))=\dfrac{u'}{1+u^2}}$.


Logo, a integral definida será:

     $\mathsf{\displaystyle \int^1_0 \dfrac{4}{1+x^2}\cdot dx}$

     $\mathsf{4\cdot \displaystyle \int^1_0 \dfrac{1}{1+x^2}\cdot dx}$

     $\mathsf{=4\cdot [arc\ tg\ (x)] \Big|_ {0}^{1}}$

     $\mathsf{=4\cdot [arc\ tg\ (1)-arc\ tg\ (0)]}$

     $\mathsf{=4\cdot \left(\dfrac{\pi}{4}-0\right)}$

     $\mathsf{=\pi}$


Bons estudos! =)

Answer 2

Calcular a integral definida:

     $\displaystyle\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,dx$


Façamos uma substituição trigonométrica:

     $x=\mathrm{tg\,}t\quad\Rightarrow\quad \left\{ \!\begin{array}{l} dx=\sec^2 t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg}(x) \end{array} \right.$

com  $\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}.$


Temos também que

     $1+x^2=1+\mathrm{tg^2\,}t\\\\ 1+x^2=\sec^2 t$


Novos limites de integração em  $\theta:$

     $\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=0&\quad\Rightarrow\quad&t=\mathrm{arctg(0)}\\\\ &&t=0 \end{array}$


     $\begin{array}{lcl} \textsf{Quando~~}x=1&\quad\Rightarrow\quad&t=\mathrm{arctg(1)}\\\\ &&t=\dfrac{\pi}{4} \end{array}$


Substituindo a integral fica

     $\displaystyle\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,dx\\\\\\ =\int_0^{\pi/4} \frac{4}{\sec^2 t}\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int_0^{\pi/4} 4\,dt\\\\\\ =4t\Big|_0^{\pi/4}\\\\\\ =4\cdot \frac{\pi}{4}-4\cdot 0\\\\\\ =\pi-0$

      $=\pi$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)