Question

Integral definida área entre funções
Y=3-x2 e Y=-1
Resposta 32/3

Answer 1

Olá! A integral está definida entre $3-x\x^{2} \leq y\leq -1$, ou seja, vai da parábola 3-x² até a reta y=(-1). Os limites de integração a e b serão os pontos de interseção de ambas figuras, em outras palavras:

$3-x^{2} =-1\\3+1=x^{2} \\4=x^{2} \\x=\sqrt{4} = 2 ou (-2)$

Portanto agora basta resolver a seguinte integral:

$\int\limits^b_a {3-}x^{2}-(-1)}  \, dx =\int\limits^b_a {4-}x^{2}  \, dx$ para a=(-2) e b=2. Resolvendo a primitiva primeiramente temos:

$\int\ {4-}x^{2}  \, dx =(4x-\frac{x^{3}} {3}+C )$

Usando o teorema fundamental do Cálculo {F(b)-F(a)=$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx$} temos o seguinte:

$4x-\frac{x^{3}} {3}=[4.2-\frac{2^{3}}{3} ]-[4.(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3} ]\\4x-\frac{x^{3}} {3}=[8-\frac{8}{3}]-[-8-\frac{8}{3} ]\\4x-\frac{x^{3}} {3}=[\frac{24-8}{3} ]-[\frac{-24-8}{3} ]\\4x-\frac{x^{3}} {3}=[\frac{16}{3}]-[ \frac{-16}{3} ]\\4x-\frac{x^{3}} {3}=[\frac{16}{3} ]+[\frac{16}{3}]\\4x-\frac{x^{3}} {3}=\frac{32}{3}$

Portanto a resposta da integral$\int\limits^b_a ({4-}x^{2}) dx$ é $\frac{32}{3}$.