Question

integral de x² e^x dx com intervalo de 0 a 1

Answer 1

Resposta:

$\int\limits^1_0 {x^2\,.\,e^x} \, dx = e - 2.$

Explicação passo a passo:

Encontremos, inicialmente, uma primitiva da função $f(x) = x^2\,.\,e^x:$

$F(x) = \int {x^2\,.\,e^x} \, dx$

Para isso, vamos utilizar o método da integração por partes:

$\int {u} \, dv = u\,.\,v - \int {v} \, du$

$u = x^2$   ⇒   $du = 2x\,dx$

$dv = e^x\,dx$   ⇒   $v = e^x$

⇒   $\int {x^2\,.\,e^x} \, dx = x^2\,.\,e^x - \int e^x\,.\,2x\,dx = x^2\,.\,e^x - 2\int e^x\,.\,x\,dx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Vamos usar novamente o método da integração por partes para calcularmos o valor de $\int e^x\,.\,x\,dx:$

$\int e^x\,.\,x\,dx$

$u = x$   ⇒   $du = dx$

$dv = e^x\,dx$   ⇒   $v = e^x$

⇒   $\int e^x\,.\,x\,dx = x\,.\,e^x - \int e^x\,dx = x\,.\,e^x - e^x$

Substituindo o valor encontrado em $(I)$, temos:

$F(x) = x^2\,.\,e^x - 2\int e^x\,.\,x\,dx\\\\F(x)= x^2\,.\,e^x - 2(x\,.\,e^x - e^x) + C\\\\F(x)= x^2\,.\,e^x - 2x\,.\,e^x+2e^x + C$

Portanto,

$\int {f(x)} \, dx = F(x) \\\\\int\limits^1_0 {f(x)} \, dx = F(x)|^1_0 = (e - 2e + 2e + C) - (2 + C) = \boxed{e-2}$