Question

Integral de x e^2x dx? (integração por partes)

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$


Usaremos o método de integração por partes:

     $\begin{array}{lcl} u=x&\quad\Rightarrow\quad&du=dx\\\\ dv=e^{2x}\,dx&\quad\Leftarrow\quad&v=\dfrac{1}{2}\,e^{2x} \end{array}$


     $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\\\ \int x e^{2x}\,dx=x\cdot \frac{1}{2}\,e^{2x}-\int \frac{1}{2}\,e^{2x}\,dx\\\\\\ \int x e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}\,xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx\\\\\\ \int xe^{2x}\,dx=\frac{1}{2}\,xe^{2x}-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\,e^{2x}\right)+C\\\\\\ \int xe^{2x}\,dx=\frac{1}{2}\,xe^{2x}-\frac{1}{4}\,e^{2x}+C\\\\\\ \int xe^{2x}\,dx=\frac{2}{4}\,xe^{2x}-\frac{1}{4}\,e^{2x}+C$     

     $\displaystyle\int xe^{2x}\,dx=\frac{1}{4}\,e^{2x}\cdot (2x-1)+C\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

A integral de x.e²ˣ é e²ˣ/2(x - 1/2) + C.

Primeiramente, vamos relembrar a definição de integração por partes.

A integral por partes é definida por:

• ∫u.dv = u.v - ∫v.du.

Na função x.e²ˣ, precisamos escolher quem será u. Para isso, utilizamos a seguinte ordem:

1. Logaritmo
2. Inversa de trigonométrica
3. Aritméticas ou algébricas
4. Trigonométrica
5. Exponencial.

Ou seja, vamos considerar que u = x e dv = e²ˣ.

Consequentemente, du = dx e v = (e²ˣ)/2.

Substituindo os valores na definição da integral por partes, obtemos:

∫x.e²ˣ.dx = x.e²ˣ/2 - ∫e²ˣ/2.dx

∫x.e²ˣ.dx = x.e²ˣ/2 - 1/2∫e²ˣ.dx

∫x.e²ˣ.dx = x.e²ˣ/2 - 1/2.e²ˣ/2

∫x.e²ˣ.dx = e²ˣ/2(x - 1/2).

Como a integral é indefinida, então devemos colocar a constante C no  resultado.

Portanto, podemos concluir que o resultado da integral é igual a e²ˣ/2(x - 1/2) + C.

Exercício sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/19595946