Matemática, perguntado por mariastefaniie, 8 meses atrás

Integral de x^3ln(x)dx

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}+C,~C\in\mathbb{R}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Seja a integral:

\displaystyle{\int x^3\ln(x)\,dx

Sabendo que a fórmula para integração por partes é dada por: \displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du, devemos encontrar as variáveis u e v.

Como critério de escolha para u, temos a propriedade LIATE, em que dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonoméricas, Algébricas (potências de x), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Dessa forma, escolhemos u=\ln(x) e dv=x^3\,dx. Devemos diferenciar ambos os lados da expressão em u, para encontrarmos o diferencial du e integrarmos a expressão em v. Assim, temos:

u'=(\ln(x))'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int x^3\,dx}\\\\\\\\ v=\dfrac{x^4}{4}

Substituindo estes termos na fórmula, teremos:

\displaystyle{\int x^3\ln(x)\,dx=\ln(x)\cdot \dfrac{x^4}{4}-\int \dfrac{x^4}{4}\cdot\dfrac{dx}{x}

Multiplique os valores

\displaystyle{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\int \dfrac{x^3}{4}\,dx

Aplique a propriedade da constante: \displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx

\displaystyle{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\int x^3\,dx

Calcule a integral da potência: \displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1

\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{x^4}{4}+C_1\right)

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}-\dfrac{C_1}{4}

Considere -\dfrac{C_1}{4}=C

\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}+C

Este é o resultado desta integral.

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