Question

integral de (x^3 - 2√x)/x

Answer 1

Resposta: $\int \frac{x^3-2\sqrt{x}}{x}\,dx=\frac{x^3}{3}+4\sqrt{x}+C$

Uma das formas de resolver essa integral é por substituição, trocando √x por uma variável auxiliar, porém é mais prático reescrever essa fração e aplicar as propriedades, observe.

$\displaystyle\int\dfrac{x^3-2\sqrt{x}}{x}\,dx$

Reescreva a fração numa diferença de frações:

$=~~\displaystyle\int\dfrac{x^3}{x}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x}\,dx$

$=~~\displaystyle\int\dfrac{x^3}{x^1}-\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^1}\,dx$

$=~~\displaystyle\int x^{3-1}-\dfrac{2}{x^{1-\frac{1}{2}}}\,dx$

$=~~\displaystyle\int x^2-\dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}}\,dx$

A integral da diferença é igual a diferença das integrais:

$=~~\displaystyle\int x^2\,dx-\displaystyle\int\dfrac{2}{x^{\frac{1}{2}}}\,dx$ ⇒ a constante pode sair multiplicando.

$=~~\displaystyle\int x^2\,dx-2\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\,dx$

$=~~\displaystyle\int x^2\,dx-2\displaystyle\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx$

$=~~\dfrac{x^3}{3}+c_1-2\cdot\dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c_2$

$=~~\dfrac{x^3}{3}-2\cdot\dfrac{x^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}+C$

$=~~\dfrac{x^3}{3}-2\cdot\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$

$=~~\dfrac{x^3}{3}-2\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot2+C$

$=~~\dfrac{x^3}{3}-4x^{\frac{1}{2}}+C$

$=~~\boxed{\dfrac{x^3}{3}-4\sqrt{x}+C}$

Obs.₁: a integral de x² é x³/3 + c pois (x³/3 + c)' = x², e na integral da potência aplica-se a regra da potência: $\int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}$.

Obs.₂: também foi usada as propriedades da radiciação, em que $\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}$ e $\frac{1}{x^a}=x^{-a}$.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

• O resultado da sua integral é:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \boxed{\boxed{\green{ \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx =  \frac{x^3}{3} - 4 \sqrt{x}+ k}}}\end{aligned} }$

Para resolver sua integral, devemos utilizar a propriedade de integração que diz que podemos separar em duas ou mais integrais.

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int f(x) \pm g(x) \ dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\end{aligned}$

• Logo, aplicando na sua integral:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \int \frac{x^3}{x}\ dx - \int \frac{2\sqrt{x}}{x}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \int x^2\ dx - \int \frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 2\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 2\int x^{-\frac{1}{2}}\ dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + k\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1}\cdot \frac{2}{1} + k\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}}+ k\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{ \int \frac{x^3 -2\sqrt{x}}{x}\ dx = \frac{x^3}{3} - 4 \sqrt{x}+ k}}}\end{aligned} }$

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