Question

Integral de (x-1) e^-x dx

Answer 1

Oi Caroline :)

Primeiro podemos fazer a multiplicação ali e separar em duas integrais:

$\int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx \\ \\ \int\limits {xe^{-x}-e^{-x}} \, dx \\ \\ \int\limits {xe^{-x}\, dx-\int\limits {e^{-x}} \, dx$

Usando integral por partes na primeira integral:

$u=x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dv=e^{-x} \\ \\ du=1dx \ \ \ \ \ \ \ v= \int\limits {e^{-x}} \, dx \ \ \ \ \boxed{u=-x} \ \ \ \frac{du}{dx} =-1 \ \ \ \ \boxed{dx=-du} \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= -\int\limits {e^u} \, du \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= -e^u \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{v=-e^{-x}}$

Com os valores de u, v  e du podemos utilizar a fórmula: 

$\int\limits {v.du} = u.v- \int\limits {v.du} \, dx$

$\int\limits {x.e^{-x}} \, dx \\ \\ x.(-e^{-x})- \int\limits {-e^{-x}} \, dx \\ \\ -x.e^{-x}+ \int\limits {e^{-x}} \, dx \\ \\ -x.e^{-x}-e^{-x}+C$

A segunda integral pode ser resolvida pelo método da substituição: 

$\int\limits {e^{-x}} \, dx \ \ \ \ \boxed{u=-x} \ \ \ \frac{du}{dx} =-1 \ \ \ \ \boxed{dx=-du} \\ \\ -\int\limits {e^u} \, du \\ \\ -e^u \\ \\ \boxed{-e^{-x}+C}$

Agora podemos juntar os dois resultados das integrais lembrando que temos uma substração separando as duas .  

$\int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx = -x.e^{-x}-e^{-x}-(-e^{-x})+C \\ \\ \int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx = -x.e^{-x}-e^{-x}+e^{-x}+C \\ \\ \int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx = \boxed{-x.e^{-x}+C }$

Espero que goste :)

Comenta aí depois para dúvidas

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Após fazer esse método percebo que podemos fazer de outra forma 

$\int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx \\ \\ u=x-1 \ \ \ \ \ \ dv=e^{-x} \\ \\ du=1dx \ \ \ \ \ \ \ v= \int\limits {e^{-x}} \, dx \ \ \ \boxed{u=-x} \ \ \ \frac{du}{dx}=-1\ \ \ \ \boxed{ dx=-du } \\ \\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= -\int\limits {e^u} \, du \\ \\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= -e^u+C \\ \\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v= -e^{-x}+C$

Agora é só montar na fórmula:

$\int\limits {v.du} = u.v- \int\limits {v.du} \, dx$

$\int\limits {(x-1)e^{-x}} \, dx \\ \\ (x-1).(-e^{-x})- \int\limits {-e^{-x}} \, dx \\ \\ -x.e^{-x}+e^{-x}+ \int\limits {e^{-x}} \, dx \\ \\ -x.e^{-x}+e^{-x}-e^{-x}+C \\ \\ \boxed{-x.e^{-x}+C}$

Fiz em duas formas. Pode usar qualquer uma das duas então.