Question

Integral de tg^6(x)sec^4(x)dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\tan^9(x)}{9}+\dfrac{\tan^7(x)}{7}+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral, utilizaremos a técnica de substituição.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \tan^6(x)\sec^4(x)\,dx$

Separe $\sec^4(x)$ como um produto: $\sec^2(x)\cdot \sec^2(x)$

$\displaystyle{\int \tan^6(x)\sec^2(x)\cdot \sec^2(x))\,dx$

Lembre-se da identidade trigonométrica $\sec^2(x)=\tan^2(x)+1$. Transforme apenas uma das secantes.

$\displaystyle{\int \tan^6(x)(\tan^2(x)+1)\cdot \sec^2(x)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int (\tan^8(x)+\tan^6(x))\cdot\sec^2(x)\,dx$

Faça uma substituição $u=\tan(x)$. Diferenciamos ambos os lados da expressão em $u$ em respeito à variável $x$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(\tan(x))'$

Reescreva a tangente: $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$\dfrac{du}{dx}=\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'$

Aplique a regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$.

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{(\sin(x))'\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$

Lembre-se que $(\sin(x))'=\cos(x)$ e $(\cos(x))'=-\sin(x)$

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}$

Multiplique os termos

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

Sabendo que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ e $\dfrac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$, temos

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\sec^2(x)$

Multiplique ambos os lados da equação por $dx$

$du=\sec^2(x)\,dx$

Observe que este elemento já está presente na integral, assim teremos:

$\displaystyle{\int u^8+u^6\,du$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}+C,~n\neq-1$

$\dfrac{u^9}{9}+\dfrac{u^7}{7}+C$

Desfaça a substituição

$\dfrac{\tan^9(x)}{9}+\dfrac{\tan^7(x)}{7}+C$

Este é o resultado desta integral.