Question

Integral de tg^5 (x) sec^5 (x) dx

Answer 1

Resposta:

1/9(sec⁹x - 2/7 sec⁷x + 1/5 sec⁵x + c

Explicação passo-a-passo:

∫tg⁵x sec⁵xdx = ∫tg⁴x tgx secx sec⁵x dx = ∫(sec² - 1)  sec⁴x secx . tgx dx =

Seja  secx = u ⇒ secx tgx dx = du

∫(sec²x - 1)² sec⁴x secxtgx dx = ∫(u² - 1)² u⁴ du = ∫(u⁴ - 2u² + 1)u⁴ du =

= ∫(u⁸ - 2u⁶ + u⁴)du = u⁹/9 - 2u⁷/7 + u⁵/5 + c =

= 1/9(sec⁹x - 2/7 sec⁷x + 1/5 sec⁵x + c

Answer 2

Resposta:  $\mathsf{\dfrac{sec^9(x)}{9}-\dfrac{2\,sec^7(x)}{7}+\dfrac{sec^5(x)}{5}+C.}$

Explicação passo-a-passo:

Calcular a integral indefinida:

    $\mathsf{\displaystyle\int tg^5(x)\,sec^5(x)\,dx}$

Separe um fator sec(x) tg(x). Fazendo isso, as potências da tangente e da secante ficam com expoentes pares e assim será possível fazer a substituição.

    $\mathsf{=\displaystyle\int tg^4(x)\,sec^4(x)\cdot sec(x)\,tg(x)\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int \big[tg^2(x)\big]^2\,sec^4(x)\cdot sec(x)\,tg(x)\,dx}$

Aplique a identidade trigonométrica tg²(x) = sec²(x) - 1:

    $\mathsf{=\displaystyle\int \big[sec^2(x)-1\big]^2\,sec^4(x)\cdot sec(x)\,tg(x)\,dx}$

Agora faça a seguinte substituição:

    $\mathsf{sec(x)=u\quad\Longrightarrow\quad sec(x)\,tg(x)\,dx=du}$

e a integral fica

    $\mathsf{=\displaystyle\int (u^2-1)^2\,u^4\,du}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int (u^4-2u^2+1)\,u^4\,du}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int (u^8-2u^6+u^4)\,du}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{u^9}{9}-\dfrac{2u^7}{7}+\dfrac{u^5}{5}+C}$

Substitua de volta u = sec(x):

    $\mathsf{=\dfrac{sec^9(x)}{9}-\dfrac{2\,sec^7(x)}{7}+\dfrac{sec^5(x)}{5}+C\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)