Question

Integral de sen(x).cos(x).dx?

Answer 1

$\displaystyle\mathtt{I=\int\!sen\,x\cdot cos x\,dx}$

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Forma 1:

Faça a substituição

$\mathtt{u=sen\,x~\Rightarrow~du=cos\,x\,dx}$


e a integral fica

$=\displaystyle\mathtt{\int\!u\,du}\\\\\\ =\mathtt{\frac{u^2}{2}+C}\\\\\\ =\mathtt{\frac{(sen\,x)^2}{2}+C}\\\\\\ =\mathtt{\frac{sen^2\,x}{2}+C\quad\quad\checkmark}$

_____

Forma 2:

Faça a substituição

$\mathtt{u=cos\,x~\Rightarrow~du=-sen\,x\,dx}$

e a integral fica


$=\displaystyle\mathtt{\int\!u\cdot (-1)\,du}\\\\\\ =\mathtt{-\,\frac{u^2}{2}+C}\\\\\\ =\mathtt{-\,\frac{(cos\,x)^2}{2}+C}\\\\\\ =\mathtt{-\,\frac{cos^2\,x}{2}+C\quad\quad\checkmark}$

_____

Forma 3:

Use a identidade do sendo arco duplo:

$\displaystyle\mathtt{I=\int\!sen\,x\cdot cos\,x\,dx}\\\\\\ =\mathtt{\int\!\frac{1}{2}\cdot 2\,sen\,x\cdot cos\,x\,dx}\\\\\\ =\mathtt{\int\!\frac{1}{2}\cdot sen\,2x\,dx}\\\\\\ =\mathtt{\int\!\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot sen\,2x\,dx}\\\\\\ =\mathtt{\int\!\frac{1}{4}\cdot sen\,2x\cdot 2\,dx}$


Faça a substituição

$\mathtt{u=2x~\Rightarrow~du=2\,dx}$


e a integral fica

$=\displaystyle\mathtt{\int\!\frac{1}{4}\cdot sen\,u\,du}\\\\\\ =\mathtt{-\,\frac{1}{4}\,cos\, u+C}\\\\\\\ =\mathtt{-\,\frac{1}{4}\,cos\,2x+C\quad\quad\checkmark}$

________

Os três resultados estão corretos, pois diferem entre si por uma constante.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

A integral de sen(x).cos(x)dx pode ser sen²(x)/2 + c ou -cos²(x)/2 + c.

Vamos utilizar a substituição simples para calcularmos a integral indefinida ∫sen(x)cos(x)dx.

Para isso, podemos considerar que u = sen(x). Assim, du = cos(x)dx.

Fazendo essa substituição, obtemos:

∫sen(x)cos(x)dx = ∫u.du

∫sen(x)cos(x)dx = u²/2

Substituindo o valor de u = sen(x), concluímos que:

∫sen(x)cos(x)dx = sen²(x)/2 + c.

Não podemos esquecer da constante no resultado da integração, uma vez que a mesma é indefinida.

Veja que podemos considerar u = cos(x). Assim, du = -sen(x)dx, ou seja, -du = sen(x)dx.

Logo, a integral será igual a:

∫sen(x)cos(x)dx = ∫-u.du

∫sen(x)cos(x)dx = -∫u.du

∫sen(x)cos(x)dx = -u²/2

∫sen(x)cos(x)dx = -cos²(x)/2 + c.

Para mais informações sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/19595946