Question

Integral de sec^2x/3+2tgx​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf\int \frac{sec {}^{2} x}{3 + 2tanx}dx$

Vamos resolver essa integral através do método da substituição, já que para utilizar esse método deve-se ter a função e sua derivada ao mesmo tempo na integral, e se você notar temos isso. Digamos que a função do denominador seja igual a "u":

$\sf u = 3 + 2tanx$

Derivando "u" em relação a "x":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (3 + 2tanx) \longleftrightarrow\sf \frac{du}{dx} = 2sec {}^{2} x \\ \\ \sf du = 2sec {}^{2}x dx \longleftrightarrow \boxed{\sf \sf\frac{du}{2} = sec {}^{2} x \: dx} \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo as expressões de "u":

$\sf \int \frac{sec {}^{2}x \: dx }{3 + 2tanx} \longleftrightarrow \int \frac{ \frac{du}{2} }{u}$

Sabemos que constantes podem transitar livremente para dentro e fora da integral, então:

$\sf \int \frac{ \frac{du}{2} }{u} \longleftrightarrow \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$

Como sabemos aquela integral representa o logaritmo natural de u:

$\sf \frac{1}{2} . ln |u| + C$

Substituindo a representação de "u":

$\boxed{ \sf \frac{1}{2} . ln |3 + 2tanx| +C }$

Espero ter ajudado