Question

Integral de raiz 4-x^2 dxPelo metodo de substituição trigonométrica

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int \sqrt{4-x^2}\,dx$


Usaremos substituição trigonométrica  (ver figura em anexo):

     $\begin{array}{lcl} x=2\,\mathrm{sen\,}\theta&\quad\Rightarrow\quad&\left\{ \!\begin{array}{l} dx=2\cos\theta\,d\theta\\\\ \theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{array} \right. \end{array}$

com  − π/2 ≤ θ ≤ π/2.


Além disso, temos que

     $\sqrt{4-x^2}\\\\ =\sqrt{2^2-x^2}\\\\ =\sqrt{2^2-(2\,\mathrm{sen\,}\theta)^2}\\\\ =\sqrt{2^2-2^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta}\\\\ =\sqrt{2^2\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}\theta)}\\\\ =\sqrt{2^2\cos\theta}\\\\ =2|\cos\theta|\\\\ =2\cos\theta$

pois no intervalo em que  θ  se encontra,  o cosseno nunca é negativo, de modo que o módulo do cosseno é igual ao próprio cosseno.


Substituindo, a integral fica

     $\displaystyle\int \sqrt{4-x^2}\,dx\\\\\\ =\int 2\cos \theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta\\\\\\ =4\int \cos^2 \theta\,d\theta$


Use uma das identidades obtidas do cosseno do arco duplo:

     •   cos² θ = (1/2) · (1 + cos 2θ)


e a integral fica

     $\displaystyle=4\int \frac{1}{2}\,(1+\cos 2\theta)\,d\theta\\\\\\ =4\cdot \frac{1}{2}\int\,(1+\cos 2\theta)\,d\theta\\\\\\ =2\int\,(1+\cos 2\theta)\,d\theta\\\\\\ =2\int d\theta+2\int \cos 2\theta\,d\theta\\\\\\ =2\theta+\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\,\mathrm{sen\,}2\theta\right)+C\\\\\\ =2\theta+\mathrm{sen\,}2\theta+C$


Use a identidade do seno do arco duplo:

     •   sen 2θ = 2 sen θ cos θ


e a integral fica

     $=2\theta+2\,\mathrm{sen\,}\theta\cos\theta+C$


Substitua de volta para a variável  x,  usando as relações de transformação que foram definidas. Use o triãngulo em anexo como auxílio:

     $=2\,\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{x}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2}+C$

     $=2\,\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\,x\sqrt{4-x^2}+C\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)