Question

Integral de menos infinito até infinito de x

Answer 1

Avaliar a integral imprópria:

     $\displaystyle\int_\mathbb{R} x\,dx\\\\\\ =\int_{-\infty}^\infty x\,dx$


Por definição, a integral acima deve ser analisada como sendo

     $\displaystyle=\int_{-\infty}^0 x\,dx+\int_0^\infty x\,dx$


e só convergirá se cada uma das parcelas acima convergir.

     $\displaystyle\int_{-\infty}^0 x\,dx+\int_0^\infty x\,dx\\\\\\ =\dfrac{x^2}{2}\bigg|_{-\infty}^0+\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^\infty\\\\\\ =\left[\dfrac{0^2}{2}-\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2}\right]+\left[\dfrac{0^2}{2}-\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{2}\right]\\\\\\ =-\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2}+\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{2}$


Para que a integral convergisse, os dois limites acima deveriam ser finitos (números reais). Como ambos os limites são infinitos, então a integral

     $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty x\,dx\quad\textsf{diverge.}$


Bons estudos! :-)