Question

integral de: ln x/(x+1)^2 dx

Answer 1

Olá. Aplicaremos integral por partes, e o macete do teorema é o seguinte:

Repetir o Primeiro Termo · Integral do Segundo Termo - ∫ Repetir a Integral Feita do Segundo Termo · Derivada do Primeiro Termo dx

$\displaystyle \mathsf{ \int \frac{\ln x}{(x+1)^2} \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ \int \ln x \cdot \frac{1}{(x+1)^2} \, dx }$

A integral do segundo termo fica a seguinte:

$\displaystyle \mathsf{ \int \frac{1}{(x+1)^2} \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ u = x+1} \\ \\ \mathsf{du = dv} \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{1}{u^2} \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ - \frac{1}{u} + C} \\ \\ \\ \mathsf{ -\frac{1}{x+1} + C}$

Daí:

$\displaystyle \mathsf{ \ln x \cdot \bigg(- \frac{1}{x+1} \bigg) - \int \bigg( - \frac{1}{x+1} \bigg) \cdot \frac{1}{x} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ - \frac{\ln x}{x+1} + \int \frac{1}{x \cdot (x+1)} \, \, dx }$

Podemos fazer a integral por frações parciais:

$\displaystyle \mathsf{ \int \frac{1}{x \cdot (x+1)} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{\int \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{A \cdot (x+1) + Bx}{x \cdot (x+1)} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{Ax+ A + Bx}{x \cdot (x+1)} \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{\int \frac{(A+B)x+A}{x \cdot (x+1)} \, \, dx}$

Comparando os numeradores:

$\displaystyle \mathsf{\int \frac{0x+1}{x \cdot (x+1)} \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{\int \frac{(A+B)x+A}{x \cdot (x+1)} \, \, dx}$

Temos:

$\mathsf{A+B=0} \\ \\ \mathsf{A=1} \\ \\ \mathsf{Portanto:} \\ \\ \mathsf{B=-1}$

Voltando na integral:

$\displaystyle \mathsf{\int \frac{1}{x \cdot (x+1)} \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{1}{x} + \frac{-1}{x+1} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{ \int \frac{1}{x} \, \, dx - \int \frac{1}{x+1} \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{\ln | x | -\ln |x+1| + C}$

Portanto:

$\displaystyle \mathsf{ - \frac{\ln x}{x+1} + \int \frac{1}{x \cdot (x+1)} \, \, dx } \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \mathsf{ - \frac{\ln |x|}{x+1} + \ln | x | -\ln |x+1| + C} }}$

Os valores dentro do logaritmo natural estão em módulo pelo fato do domínio dessa função ser apenas os reais maiores que zero.

Até logo!