Question

(Integral de linha sobre um Campo) Calcular a integral f(x,y,z)=(x^2+y^2, 1 , x + y + z)com γ(t)=(cos⁡(t),sen(t),0) com 0≤t≤π.

Answer 1

Sabemos que a integral de linha de um campo F numa curva C pode ser calculada por

$\displaystyle \int_C \vec F(x,y,z) \, d\vec r = \int_a^b \vec F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt$

onde γ: [a,b] --> R é uma parametrização de C

Nesse problema temos

$\vec F(x,y,z) = (x^2 + y^2, 1, x+y+z) \qquad \qquad \gamma(t) = (\cos t, \sin t, 0), \, 0 \leq t \leq \pi$

Logo temos:

$\vec F(\gamma(t)) = (1, 1, \cos t + \sin t) \qquad \qquad \qquad \quad \gamma'(t) = (-\sin t, \cos t,0)$

Assim, a integral será:

$\displaystyle \int_C \vec F \, d\vec r = \int_0^\pi -\sin t + \cos t \, dt = -2$