Question

Integral de dx/
x ao quadrado raiz 4- xao quadrado.

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}\,dx$


Usaremos substituição trigonométrica  (ver figura em anexo):

     $\begin{array}{lcl} x=2\,\mathrm{sen\,}\theta&\quad\Rightarrow\quad&\left\{ \!\begin{array}{l} dx=2\cos\theta\,d\theta\\\\ \theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{array} \right. \end{array}$

com  − π/2 ≤ θ ≤ π/2.


Além disso, temos que

     $\sqrt{4-x^2}\\\\ =\sqrt{2^2-x^2}\\\\ =\sqrt{2^2-(2\,\mathrm{sen\,}\theta)^2}\\\\ =\sqrt{2^2-2^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta}\\\\ =\sqrt{2^2\cdot (1-\mathrm{sen^2\,}\theta)}\\\\ =\sqrt{2^2\cos\theta}\\\\ =2|\cos\theta|\\\\ =2\cos\theta$

pois no intervalo em que  θ  se encontra,  o cosseno nunca é negativo, de modo que o módulo do cosseno é igual ao próprio cosseno.


Substituindo, a integral fica

     $\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\\\ =\int \frac{1}{(2\,\mathrm{sen\,}\theta)^2\cdot 2\cos \theta}\cdot 2\cos \theta\,d\theta\\\\\\ =\int \frac{1}{4\,\mathrm{sen^2\,}\theta}\,d\theta\\\\\\ =\frac{1}{4}\int \mathrm{cossec^2\,}\theta\,d\theta\\\\\\ =\frac{1}{4}\cdot (-\,\mathrm{cotg\,}\theta)+C\\\\\\ =-\,\frac{1}{4}\cdot \frac{\cos \theta}{\mathrm{sen\,}\theta}+C$


Substitua de volta para a variável  x,  usando as relações de transformação que foram definidas. Use o triãngulo em anexo como auxílio:

     $=-\,\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{~\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}~}{\frac{x}{2}}+C\\\\\\ =-\,\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 2}{x}+C$

     $=-\,\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{4x}+C\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)