Question

Integral de dx/9x^2+4

Answer 1

Integral: $\int \frac{1}{9x^2+4} ~dx$

Colocando 4 em evidência no denominador:
$\int \frac{1}{9x^2+4} ~dx \\ \\ \int \frac{1}{4 \cdot ( \frac{9}{4}x^2+1) } ~dx$

Perceba que o denominador está com uma configuração parecida com a derivada da inversa da tangente.

Reescrevendo a integral:
$\int \frac{1}{4 \cdot ( \frac{9}{4}x^2+1) } ~dx = \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{ \frac{9}{4}x^2+1 } dx$

É necessário que substituamos  "x" por algo que resulte na seguinte coisa:
$\frac{1}{u^2+1}$. Então:
$x= \frac{2}{3}u \\ \\ dx= \frac{2}{3} du$

Substituindo:
$\frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{ \frac{9}{4}x^2+1 } dx \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{ \frac{9}{4} \cdot ( \frac{2}{3}u)^2+1 } \cdot \frac{2}{3} du \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int \frac{1}{u^2+1} du \\ \\ \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{u^2+1}~du$

Porém,
$\int \frac{1}{u^2+1}~du = tg^{-1} ~u$

Então,
$\boxed{ \int \frac{1}{9x^2+4} ~dx = \frac{1}{6} \cdot tg^{-1}~u + K}}$

Em termos de "x", teremos:
$\boxed{\boxed{ \int \frac{1}{9x^2+4} ~dx = \frac{1}{6} \cdot tg^{-1}~( \frac{3}{2}x) + K}}$