Question

INTEGRAL de cos³ ???

Answer 1

1) Chame ∫cos³xdx de I 
∫cos³xdx = I 
2) Transforme cos³x em cosx.cos²x: 
∫cosx.cos²xdx 
3) Aplique a integração por partes: 
∫udv = u.v -∫v.du 
u= cos²x => du = -2senx.cosxdx 
dv =cosx => v = senx 
I = senx.cos²x -∫senx.(-2senxcosxdx) 
= senxcos²x +2∫sen²xcosxdx 
=senxcos²x+2∫(1-cos²x)cosxdx = senxcos²x+2∫(cosx -cos³x)dx 
I = senxcos²x + 2∫cosxdx -2∫cos³xdx 
I =senxcos²x + 2senx - 2I 
3I = senxcos²x + 2senx 
I = (senxcos²x+2senx)/3 + C 

Answer 2

Resultado = senx - sen³x/3 + C

Temos uma:

Integral Trigonométrica

• Resolucionando por substituição

Nesse tipo de Resolução temos que chamar um termo de U e tirar a Derivada em relação a x (dx). Vamos dar uma melhorada nessa nossa integral para entrar com a Relação Fundamental da Trigonometria. Podemos escrever esse "cos³x" como Cos ²x . Cos x:

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$\: \: \: \: \: \: \: \: \large \sf\displaystyle\int \sf {cos}^{3} xdx = \sf\displaystyle\int \sf {cos}^{2}x \cdot \: cosxdx$

$~$

Temos Cos²x Vamos aplicar a Relação

Fundamental da Trigonometria. Veja Abaixo:

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$\: \: \: \: \: \: \large \begin{array}{c} \boxed{ \begin{array}{} \\ \sf {sen}^{2} x + {cos}^{2} x = 1 \\ \\ \sf {cos}^{2} x = 1 - {sen}^{2} x \\ \: \end{array}} \end{array}$

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Se Cos²x = 1 - Sen²x então podemos afirmar que 1 - Sen²x = Cos²x então vamos lá na integral e Substituir o Cos²x por 1 - Sen²x e fazer a sua derivada

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$\: \: \: \: \: \large \begin{array}{c} \boxed{ \begin{array}{} \\ \sf\displaystyle\int \sf(1 - {sen}^{2} x) \cdot {cos}^{2} xdx \\ \\ \sf U = senx \Rightarrow \dfrac{du}{dx} = cos \\ \\ \sf Du = cosx \: dx \\ \: \end{array}} \end{array}$

$~$

• U = Senx

Agora vamos ter a integral de (1-u²) Du, então é só Substituir du e tirar a potência em relação a U, e aplicar aquela regrinha da integração de Potências Veja Abaixo:

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$\: \: \: \: \: \Large \begin{array}{c} \boxed{ \begin{array}{}\sf\displaystyle\int \sf (1 - {u}^{2})du = U - \dfrac{{U}^{3} }{3} + C\\ \\ \sf = senx - \dfrac{ {sen}^{3}x }{3} + C \\ \: \end{array}} \end{array}$

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➡️ Resposta:

$\Huge \boxed{\boxed{\sf = senx - \dfrac{ {sen}^{3}x }{3} + C}}$

$\Large \sf \: —————– LATEX ———–———–$

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