Question

integral de cos²x e de sen² x

Answer 1

Olá, Dariodias.

A beleza da Matemática é que, em algumas situações, podemos chegar ao mesmo destino por caminhos diferentes. Este exercício é o caso.
Complementando a magnífica demonstração do meu amigo e irmão Dexter, que utilizou brilhantemente o método de integração por partes, vou mostrar outro caminho, utilizando o método de integração por substituição da variável.

Inicialmente, vamos escrever o cosseno ao quadrado em função do cosseno do arco duplo, da seguinte forma:

$\cos{2x}=\cos^2x-\underbrace{\sin^2x}_{=1-\cos^2x}=\\\\=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1\Rightarrow\\\\2\cos^2x=\cos{2x}+1\Rightarrow \cos^2x=\frac{\cos{2x}}2+\frac12$

Façamos agora a seguinte mudança de variável:

$u=2x\Rightarrow du=2dx\Rightarrow dx=\frac12\,du\Rightarrow$

$\cos^2x=\frac{\cos{2x}}2+\frac12=\frac{\cos u}2+\frac12$

Substituindo na integral temos:

$\int\cos^2x\,dx=\int(\frac{\cos u}2+\frac12)\cdot\frac12\,du=\frac{\sin u}4+\frac{u}4+C$

Como $u=2x,$ vem:

$=\frac{\sin 2x}4+\frac{2x}4+C=\\\\=\boxed{\frac{\sin 2x}4+\frac{x}2+C}$

Para integrar a função $\sin^2x,$ o desenvolvimento é análogo, começando desde o cosseno do arco duplo.