Question

integral de cos^2(x) dx com intevalo de 3pi/2 a pi/2

Answer 1

Temos o seguinte:

$\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{\frac{3 \pi }{2} } {cos^2(x)} \, dx$

Logo temos a integral indefinida:

$\int{cos^2(x)} \, dx$

Utilizando as relações:

$sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \\ \\ cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$

Logo temos:

$1 - cos^2(x) = cos^2(x) - cos(2x) \\ \\ 1 + cos(2x) = 2 \cdot cos^2(x) \\ \\ cos^2(x) = \dfrac{1+cos(2x)}{2}$

Resolvendo a integral indefinida:

$\int{cos^2(x)} \, dx = \int { \dfrac{1+cos(2x)}{2} } \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot [\int {1} \, dx + \int {cos(2x)} \, dx]$

$\int {1} \, dx = x$

$\int {cos(2x)} \, dx \\ \\ u = 2x \to du = 2 \cdot dx \to dx = \frac{du}{2} \\ \\ \int {cos(u)} \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \int {cos(u)} \, du = \dfrac{sin(u)}{2} = \dfrac{sin(2x)}{2}$

Assim aplicando os limites:

$\dfrac{1}{2} \cdot \left [\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{3 \pi }{2} } {x} \, dx + \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{ \frac{3 \pi }{2} } {\dfrac{sin(2x)}{2}} \, dx \right ] \\ \\ \\ \dfrac{1}{2} \cdot \left [\left ( \dfrac{ \pi }{2} - \dfrac{3 \pi }{2} \right ) + \left (\dfrac{sin(2\cdot \frac{ \pi }{2} )}{2} - \dfrac{sin(2\cdot \frac{3 \pi }{2} )}{2} \right) \right ]$

$\dfrac{1}{2} \cdot \left [\left ( -\pi \right ) + \left (\dfrac{sin( \pi )}{2} - \dfrac{sin(3 \pi )}{2} \right) \right ] \\ \\ \\ \dfrac{1}{2} \cdot \left [\left ( -\pi \right ) + \left (0 - 0 \right) \right ] = -\dfrac{ \pi }{2}$

• O resultado deu negativo pois o limites estão invertidos, está indo do maior para o menor, ou seja, de $\frac{3 \pi }{2}$ a $\frac{ \pi }{2}$. Se você quer a área com um valor positivo, basta fazer o módulo.

$\left | -\dfrac{ \pi }{2} \right | = \dfrac{ \pi }{2} \approx 1.57$