Question

Integral de arc tg 3x dx​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x\cdot \arctan(3x)-\dfrac{1}{6}\cdot\ln|9x^2+1|+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos a integral: $\displaystyle{\int \arctan(3x)\,dx}$, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Primeiro, façamos uma substituição $t=3x$. Derivamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $dt$.

$t'=(3x)'\\\\\\ dt=3\,dx$

Isolamos $dx$

$dx=\dfrac{dt}{3}$

Substituímos estes dados na integral

$\displaystyle{\int \arctan(t)\cdot\dfrac{dt}{3}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int \arctan(t)\,dt}$

Então, integramos por partes.

Lembre-se que: $\displaystyle{\int u\,dv=uv-\int v\,du}$. Assim, devemos escolher quem será $u$ e $dv$. Para isso, utilizamos o critério LIATE, no qual, na escolha de $u$, damos prioridade a Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Dessa forma, teremos $u=\arctan(t)$ e $dv=dt$.

Derivamos a expressão em $u$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=\arctan(t)'\\\\\\ du=\dfrac{dt}{t^2+1}$

E integramos a expressão em $dv$ para encontrarmos $v$:

$dv=dt\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int dt}\\\\\\ \displaystyle{v=t$

Substituindo estas informações na fórmula da integral por partes, teremos

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\int t\cdot\dfrac{dt}{t^2+1}\right)$

Multiplique as frações

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\int \dfrac{t}{t^2+1}\,dt\right)$

Então, fazemos uma nova substituição $s=t^2+1$ Derivamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $ds$:

$s'=(t^2+1)'\\\\\\ ds=2t\,dt$

Isolamos $dt$

$dt=\dfrac{ds}{2t}$

Substituindo esta informação na integral, teremos

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\int \dfrac{t}{s}\cdot\dfrac{ds}{2t}\right)$

Multiplicando as frações e aplicando a regra da constante, teremos

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\dfrac{1}{2}\cdot\int\dfrac{ds}{s}\right)$

Sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$, teremos

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\dfrac{1}{2}\cdot\ln|s|\right)$

Desfaça a substituição $s=t^2+1$

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{t\cdot \arctan(t)-\dfrac{1}{2}\cdot\ln|t^2+1|\right)$

Desfaça a substituição $t=3x$

$\dfrac{1}{3}\left(\displaystyle{3x\cdot \arctan(3x)-\dfrac{1}{2}\cdot\ln|(3x)^2+1|\right)$

Calcule a potência e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{x\cdot \arctan(3x)-\dfrac{1}{6}\cdot\ln|9x^2+1|$

Adicione a constante de integração

$\displaystyle{x\cdot \arctan(3x)-\dfrac{1}{6}\cdot\ln|9x^2+1|+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral indefinida.