Question

Integral de 5e^x sen(x) usando o método por parte?

Answer 1

Olá!

O método de integral por partes diz que $\int\ {f(x).g'(x) \, dx =f(x).g(x)-\int\ {f'(x)g(x)}} \, dx$.

Logo na integral: $\int\ {5e^{x}senx} \, dx =5\int\ {e^{x}senx} \, dx$

f(x)=e^x -> f'(x)=e^x; e g'(x)=senx, g(x)=$\int\ {senx} \, dx =-cosx+k$

Substituindo as informações temos o seguinte:

$5\int\ {e^{x}senx} \, dx=5[-e^{x} cosx-\int\ {e^{x}.(-cosx)} \, dx \\5\int\ {e^{x}senx} \, dx=5[-e^{x} cosx+\int\ {e^{x}cosx} \, dx]$

Resolvendo $\int\ {e^{x}cosx } \, dx$, temos outra integral por partes. Fazendo f(x)=e^x ->f'(x)=e^x; e g'(x)=cosx, g(x)=$\int\ {cosx} \, dx =senx$ e substituindo na equação temos:

$5\int\ {e^{x}senx} \, dx=5[-e^{x} cosx+\int\ {e^{x}cosx} \, dx]\\5\int\ {e^{x}senx} \, dx=5[-e^{x} cosx+e^{x}senx-\int\ {e^{x} senx} \, dx ]\\5\int\ {e^{x}senx}=-5e^{x} cosx+5e^{x}senx-5\int\ {e^{x} senx}\\5\int\ {e^{x}senx}+5\int\ {e^{x} senx}=-5e^{x} cosx+5e^{x}senx\\10\int\ {e^{x}senx}=-5e^{x} cosx+5e^{x}senx\\2\int\ {5e^{x}senx}=-5e^{x} cosx+5e^{x}senx\\\int\ {5e^{x}senx}=\frac{5e^{x}}{2} (senx-cosx)$

Espero ter ajudado!