Question

Integral de 3x⁸ cos(x³)

Answer 1

Olá,

Temos a integral:

$\tt \int \: 3 {x}^{8} cos( {x}^{3} ) \: dx$

Essa integral é o produto entre duas funções sem que a gente consiga enxergar em uma delas a derivada da outra. Nesse caso, podemos aplicar a integração por partes. Todavia, temos potências altas de x. Vamos "rebaixar" essas potências fazendo uma substituição de variáveis. Fazemos:

$\tt \: t = {x}^{3}$

Assim:

$\tt \: d(t) = d( {x}^{3} ) \to \: dt = 3 {x}^{2} \: dx$

Além disso, observe que:

$\tt \: t = {x}^{3} \to \: {t}^{2} = ( {x}^{3} {)}^{2} \to \: {t}^{2} = {x}^{6}$

Voltamos para a integral:

$\tt \int \: 3 {x}^{8} cos( {x}^{3} ) \: dx$

$\tt = \int \: 3 \red{ {x}^{2}} \: \red{{x}^{6}} cos( {x}^{3} ) \: dx$

$\tt = \int \: {x}^{6} cos( {x}^{3} ) \:3 {x}^{2} dx$

$\tt = \int \: \overbrace{{x}^{6}} ^{ {t}^{2} } cos( \underbrace{{x}^{3}}_{t}) \: \overbrace{3 {x}^{2} dx}^{dt}$

$\tt = \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx$

Agora temos uma integral mais fácil de ser resolvida.

Vamos aplicar integração por partes. Essa técnica versa que devemos escolher apropriadamente duas funções $\tt \: u = u(x)$ e $\tt \: v = v(x)$ para reduzirmos a integral em uma do tipo:

$\tt \int \: udv = uv - \int \: vdu$

A melhor maneira de escolher estas funções para obtermos uma integral mais fácil de ser resolvida é a prática. Contudo existe uma "bizu" no formato de acróstico. Para escolher a função $\tt \: u$ podemos seguir o LIATE. Assim:

Logarítmica;

Inversa trigonométrica;

Algébrica;

Trigonométrica;

Exponencial.

Assim, observamos nossa integral, devemos escolher $\tt \: u = {t}^{2}$, pois é uma função Algébrica em relação ao $\tt \: cos(t)$ que é Trigonométrica.

Assim, temos:

$\tt \: u = {t}^{2} \: \to \: du = 2t \: dt$

Escolhendo a função $\tt \: u$, o resto do integrando (e o diferencial) é o $\tt \: dv { : }$

$\tt \: dv = cos(t) \: dt \\ \tt \int \: dv = \int \: cos(t) \: dt \\ \tt \: v = sen(t)$

Logo:

$\tt = \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx$

$\tt = \int \: \overbrace{{t}^{2}}^{u} \underbrace{cos( t ) \: dx} _{dv}$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \int \: 2t \: sen(t) \: dt$

Para resolver a integral que surgiu, devemos mais uma vez recorrer a integração por partes:

$\tt \: u = 2t \: \to \: du = 2 \: dt$

$\tt \: dv = sen(t) \: dt \\ \tt \int \: dv = \int \: sen(t) \: dt \\ \tt \: v = - cos(t)$

Logo:

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \int \: 2t \: sen(t) \: dt$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \left( 2t( - cos(t)) - \int 2( - cos(t)) \: dt\right)$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \left( - 2t \: cos(t) + \int 2 cos(t)\: dt\right)$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \left( - 2t \: cos(t) + 2 \int cos(t)\: dt\right)$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \left( - 2t \: cos(t) + 2 \underbrace{\int cos(t)\: dt} _{sen(t)} \right)$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - \left( - 2t \: cos(t) + 2 sen(t)\right) + k$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) + 2t \: cos(t) - 2 \: sen(t) + k$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = \blue{{t}^{2} sen(t)} + 2t \: cos(t) - \blue{2 \: sen(t)} \: + k$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = {t}^{2} sen(t) - 2 \: sen(t) + 2t \: cos(t) + k$

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = ({t}^{2} - 2)sen(t) + 2t \: cos(t) + k$

Devemos deixar o resultado em função de $\tt \: x$, por isso, vamos desfazer a substituição inicial: $\tt \: t = {x}^{3}$

Assim:

$\tt \int \: {t}^{2} cos( t ) \: dx = ({( {x}^{3} )}^{2} - 2)sen( {x}^{3} ) + 2( {x}^{3} ) \: cos( {x}^{3} ) + k$

Portanto:

$\boxed{ \tt \int \: 3 {x}^{8} cos( {x}^{3} ) \: dx = ( {x}^{6} - 2) \: sen( {x}^{3}) + 2 {x}^{3} \: cos( {x}^{3} ) + k}$