Question

integral de 3x+2/x^2+3x+2 dx

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \int \frac{3x+2}{x^2+3x+2} dx \\ \\ \\ \text{Temos que aplicar fracoes parciais, para isso, temos que fazer}\\\text{a fatoracao do denominador} \\ \\ x^2+3x+2=\boxed{(x+1)(x+2)} \longleftarrow \text{forma fatorada}\\ \\ \text{Vamos substituir na nossa integral} \\ \\ \\ \int \frac{3x+2}{(x+1)(x+2)} dx \\ \\ \\ \text{Aplicando fracoes parciais} \\ \\ \\ \int \left.\left(\frac{A}{x+1} ~+~ \frac{B}{x+2}~ \,\right)dx$

Temos que encontrar o valor do A e B

$\displaystyle \frac{3x+2}{(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x+1} ~+~ \frac{B}{x+2} \\ \\ \\ \text{Tira o MMC entre A e B} \\ \\ \\ \frac{3x+2}{(x+1)(x+2)} =\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)} \\ \\ \\ \text{Cancela os denominadores de ambos os lados} \\ \\ \\ 3x+2=A(x+2)+B(x+1) \\ \\ \\ \text{Agora 'chuta' um valor que ira zerar o B para encontrar o A} \\ \\x=-1 \\ \\ 3(-1)+2=A(-1+2)+B(-1+1) \\ -3+2=A+0 \\ \\ \boxed{A=-1}$

$\displaystyle \text{Agora temos que encontrar um valor para o X que zere o A}\\\text{para encontrarmos o B} \\ \\ x=-2 \\ \\ 3(-2)+2=A(-2+2)+B(-2+1) \\ -6+2=0-B \\ \\ -B=-4 \\ \\ \boxed{B=4}$


Agora que já encontramos o valor de A e B, agora é só substituir 

$\displaystyle \int \left.\left(\frac{A}{x+1} ~+~ \frac{B}{x+2}~ \,\right)dx$

$\displaystyle \int \left.\left(\frac{-1}{x+1} ~+~ \frac{4}{x+2}~ \,\right)dx$

$\displaystyle \int \frac{-1}{x+1} dx~+~\int \frac{4}{x+2}dx \\ \\ \\ -\int \frac{dx}{x+1} ~+~4\int \frac{dx}{x+2} \\ \\ \\ \text{Agora e as integrais ficaram bem simples, so de olhar} \\\text{sabemos que resultara em uma 'ln'} \\\text{Mas voce pode resolver por substituicao tambem} \\ \\ \\ \\\boxed{\mathtt{ =-ln|x+1|~+~4ln|x+2|+C}}~~ ~~ ~~ ~\longleftarrow\text{Resposta}$