Question

Integral de 1÷ x✓x^2 +4 ?

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{1}{x \sqrt{x {}^{2} + 4 } } dx$

Para resolver essa integral vamos usar a integração por substituição trigonométrica, sendo mais específico, o caso em que essa integral se encaixa é no $\sqrt{a {}^{2} + x {}^{2} }$, nesse caso citado temos que montar um triângulo retângulo (está anexado) e relacionar os elementos com a tangente de um ângulo desses triângulo desenhado.

$\tg \theta = \frac{x}{2} \: \: \: \\ x = 2 \tg \theta$

Derivando essa expressão em relação ao ângulo:

$\frac{dx}{ d \theta} = \frac{d}{d \theta} (2 \tg \theta) \\ \\ \frac {dx}{d \theta} = 2 \sec {}^{2} \theta \: \: \: \: \: \\ \\ dx = 2 \sec {}^{2} \theta d \theta$

Agora vamos substituir essas expressões na integral e chegar a uma outra bem mais simples:

$\int \frac{1}{x \sqrt{ {x}^{2} + 4} } dx = \int \frac{1}{2 \tg \theta. \sqrt{(2 \tg \theta ) {}^{2} + 4 } } .2 \sec {}^{2} \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int \frac{2 \sec {}^{2} \theta d \theta}{2 \tg \theta. \sqrt{4 \tg {}^{2} \theta + 4} }= \int \frac{2 \sec {}^{2} \theta d \theta}{ 2 \tg \theta\sqrt{4.(1 + \tg {}^{2} \theta)}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int \frac{2 \sec {}^{2} \theta d \theta}{2 \tg \theta \sqrt{4 \sec {}^{2} \theta} } = \int \frac{2 \sec {}^{2} \theta d \theta}{2 \tg \theta .2 \sec \theta} = \int \frac{ \sec \theta d \theta}{2 \tg \theta} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{1}{2} \int \frac{ \sec \theta d \theta}{ \tg \theta} = \frac{1}{2} \int \frac{ \frac{1}{ \cos \theta}}{ \frac{ \sin \theta}{ \cos \theta} } d \theta = \frac{1}{2} \int \csc \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pelo que sabemos, a integral da cossecante é:

$\boxed{ \int \csc \theta = \ln (| \csc (\theta) - \cot (\theta)|) + k}$

Aplicando essa regra, temos que:

$\frac{1}{2} \int \csc \theta d \theta = \frac{1}{2} \ln( | \csc ( \theta) - \cotg (\theta)| ) + k$

Mas o ângulo tem que voltar a sua origem, pois o mesmo foi uma montagem que nós fizemos, então vamos ver o que representa a cossecante e a cotangente desse ângulo:

$\csc \theta = \frac{1}{ \sin \theta} \to \sin \theta = \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 4 } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \csc \theta = \frac{1}{ \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} } + 4} } = \frac{1}{1} . \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 4} }{x} = \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 4} }{x} \\ \\ \cotg \theta = \frac{ \cos \theta}{ \sin \theta} \to \sin \theta = \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 4} } \to \cos \theta = \frac{2}{ \sqrt{x {}^{2} + 4} } \\ \\ \cotg \theta = \frac{ \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 4} } }{ \frac{2}{ \sqrt{x {}^{2} } + 4 } } = \cotg \theta = \frac{x}{2}$

Substituindo essas informações na resposta:

$\frac{1}{2} \ln \left( \left| \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 4} }{x} - \frac{x}{2 } \right | \right ) +k$

Espero ter ajudado