Question

integral de 1 /√ 9 − 16t ^2 dt por substituição trigonométrica.

Answer 1

Resolução da integral, veja:

Nessa integral não é necessário que façamos a substituição trigonométrica pois pela simples é bem mais rápido, vejamos então:

$\displaystyle\int~\dfrac{1}{\sqrt{9-16t^{2}}}~dt\\ \\ \\ \dfrac{1}{3}~\displaystyle\int~\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{16t^{2}}{9}}}~dt$

Façamos a seguinte substituição:

u = (4t/3) = > du = 4/3 dt:

Assim sendo, temos:

$\displaystyle\int~\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{16t^{2}}{9}}}~dt\\ \\ \dfrac{1}{4}~\displaystyle\int~\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}~du$

Sabendo que o integrando (1/√1-u²) representa a função sin^{-1}, teremos então:

$\dfrac{1}{4}~\displaystyle\int~\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}~du\\ \\ \dfrac{1}{4}~sin^{-1}~(u)+C$

Desfazendo a substituição feita no início:

$\dfrac{1}{4}~sin^{-1}~(u)+C}\\ \\ \\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{4}~sin^{-1}~\left(\dfrac{4t}{3}\right)+C}}}}}}}}}}}$

Ou seja, podemos afirmar que a solução da integral dada é:

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{4}~sin^{-1}~\left(\dfrac{4t}{3}\right)+C}}}}}}}}}}}$

Espero que te ajude (^.^)

Answer 2

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Integração por substituição trigonométrica

$\Large\boxed{\begin{array}{c}\sf integral~envolvendo~o~radicando~\sqrt{a^2-u^2}\\\sf use~a~substituic_{\!\!,}\tilde ao~u=a~sen(\theta)\end{array}}$

$\displaystyle\sf\int\dfrac{dt}{\sqrt{9-16t^2}}\\\sf fac_{\!\!,}a~4t=3sen(\theta)\implies t=\dfrac{3}{4}sen(\theta)\\\sf dt=\dfrac{3}{4}cos(\theta)d\theta\\\sf\sqrt{9-16t^2}=\sqrt{9-9sen^2(\theta)}=\sqrt{9(1-sen^2(\theta))}\\\sf\sqrt{9-16t^2}=\sqrt{9cos^2(\theta)}=3cos(\theta)$

$\displaystyle\sf\int\dfrac{dt}{\sqrt{9-16t^2}}=\int\dfrac{\frac{3}{4}\diagup\!\!\!\!\!cos(\theta)d\theta}{3\diagup\!\!\!\!\!cos(\theta)}=\dfrac{\backslash\!\!\!3}{4}\cdot\dfrac{1}{\backslash\!\!\!3}\int d\theta=\dfrac{1}{4}\theta+k\\\sf \theta=arc~sen\left(\dfrac{4t}{3}\right)\\\huge\boxed{\displaystyle\sf\int\dfrac{dt}{\sqrt{9-16t^2}}=\dfrac{1}{4}arc~sen\left(\dfrac{4t}{3}\right)+k}$