Question

integral das funções trigonométricas e decomposição de frações parciais abaixo, observando o cada caso para sua resolução !

Obs: abaixo possui uma dica de resolução e o gabarito, preciso urgente !!

a) $\int \left(\frac{2x^2+3}{x^2+1}\right)dx=$ $\left(\frac{Ax+B}{x^2+1}\right)+\left(\frac{Cx+D}{\left(x^2+1\right)^2}\right)$

Dica: resolva por partes $\int \:\frac{1}{x^2+1}dx$

gabarito: $2\:arctg\:\left(x\right)\:+\frac{1}{2}+\frac{1\:}{2}\:arctg\:\left(x\right)+\frac{1}{2}\:\left(\frac{1}{x^2+1}\right)+k$

Answer 1

$I=\displaystyle\int\!\frac{2x^2+3}{x^2+1}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{2x^2+2-2+3}{x^2+1}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{2x^2+2+1}{x^2+1}\,dx\\\\\\ =\int\!\frac{2(x^2+1)+1}{x^2+1}\,dx\\\\\\ =\int\!\left(\frac{2(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1} \right )dx\\\\\\ =\int\!\left(2+\frac{1}{x^2+1} \right )dx$

$=\displaystyle\int\!2\,dx+\int\!\frac{1}{x^2+1}\,dx\\\\\\ =2x+\int\!\frac{1}{x^2+1}\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$

_________

Vamos avaliar esta integral

$I_1=\displaystyle\int\!\frac{1}{x^2+1}\,dx$

usando substituição trigonométrica:

Faça

$x=\mathrm{tg\,}t~~~~\left(-\pi/2<x<\pi/2 \right )$


então,

$\left\{ \!\begin{array}{l} dx=\sec^2t\,dt\\\\ t=\mathrm{arctg\,}x \end{array} \right.$


Substituindo, a integral $I_1$ fica

$=\displaystyle\int\!\frac{1}{(\mathrm{tg\,}t)^2+1}\cdot \sec^2 t\,dt\\\\\\ =\int\!\frac{1}{\mathrm{tg^2\,}t+1}\cdot \sec^2 t\,dt~~~~~~\big(\text{mas }\mathrm{tg^2\,}t+1=\sec^2 t\big)\\\\\\ =\int\!\frac{1}{\sec^2 t}\cdot \sec^2 t\,dt$

$=\displaystyle\int\!dt\\\\\\ =t+C_1\\\\ =\mathrm{arctg\,}x+C_1$

_________

Então, voltando a $\mathbf{(i)}$ ficamos com

$I=2x+\mathrm{arctg\,}x+C\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int\!\frac{2x^2+3}{x^2+1}\,dx=2x+\mathrm{arctg\,}x+C \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)