Question

integral cossec x(cotg x + cossec x)dx

Answer 1

A integral em questão tem resultado igual a – cossec x – cotg x + C.

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$\displaystyle\int\tt cossec\,x\,(cotg\,x+cossec\,x)\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt(cossec\,x\,cotg\,x+cossec\,x\,cossec\,x)\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt(cossec\,x\,cotg\,x+cossec^2x)\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt cossec\,x\,cotg\,x\,dx~+\displaystyle\int\tt cossec^2x\,dx$

A cossecante é o inverso do seno e a cotangente é o inverso da tangente (lembrando que a tangente é a razão entre seno e cosseno).

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen\,x}\,\dfrac{1}{tg\,x}\,dx~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen^2x}\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen\,x}\,\dfrac{1}{\frac{sen\,x}{cos\,x}}\,dx~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen^2x}\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen\,x}\,\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\,dx~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen^2x}\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{cos\,x}{sen^2x}\,dx~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen^2x}\,dx$

Na primeira integral, fazendo u = senx teremos que du/dx = (senx)' ⇒ du = cosx dx:

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{sen^2x}\,dx$

Agora na segunda integral podemos fazer 1 = cos²x/cos²x, de modo que:

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{cos^2x}{cos^2x\,sen^2x}\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{1}{cos^2x}\,\dfrac{cos^2x}{sen^2x}\,dx$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{\frac{1}{cos^2x}}{\frac{sen^2x}{cos^2x}}\,\,dx$

O inverso do cosseno é a secante e, como eu já havia mencionado, a razão entre seno e cosseno é a tangente:

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{sec^2x}{tg^2x}\,\,dx$

Fazendo v = tgx teremos que dv/dx = (tgx)' ⇒ dv = sec²x dx:

$=~~\tt\displaystyle\int\tt\dfrac{du}{u^2}~+\displaystyle\int\tt\dfrac{dv}{v^2}$

$=~~\tt\displaystyle\int\tt u^{-2}du~+\displaystyle\int\tt v^{-2}du$

Pela regra da potência:

$=~~\tt\dfrac{u^{1-2}}{1-2}+c_1+\dfrac{v^{1-2}}{1-2}+c_2$

$=~~\tt-u^{-1}-v^{-1}+C$

$=~~\tt-\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v}+C$

Substituindo de volta para x:

$=~~\tt-\dfrac{1}{sen\,x}-\dfrac{1}{tg\,x}+C$

Basta por fim substituir estas razões inversas por suas razões trigonométricas recíprocas.

$\therefore~\boxed{\tt\displaystyle\int\tt cossec\,x\,(cotg\,x+cossec\,x)\,dx=-cossec\,x-cotg\,x+C}$

Obs.: se simplificar esse resultado encontra-se $\tt -cotg\frac{x}{2}+C$.

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Propriedades/regras da integração utilizadas:

1. $\tt\displaystyle\int\tt p(x)+q(x)\,dx=\displaystyle\int\tt p(x)\,dx+\displaystyle\int\tt q(x)\,dx$

2. $\tt\displaystyle\int\tt x^p\,dx=\dfrac{x^{1+p}}{1+p}+c~~|~~p\neq-\,1$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.