Question

integral cos^3 xdx ? integração por partes.

Answer 1

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Calcular a integral indefinida, usando o método de integração por partes:

     $\displaystyle\int \cos^3 x\,dx\\\\\\ =\int \cos^2 x\cdot \cos x\,dx$


Façamos

     $\begin{array}{lcl} u=\cos^2 x\\\\ u=(\cos x)^2&\quad\Rightarrow\quad& du=2(\cos x)^{2-1}\cdot (\cos x)'\,dx\\\\ &&du=2\cos x\cdot (-\mathrm{sen\,}x)\,dx\\\\ && du=-\,2\cos x\cdot \mathrm{sen\,}x\,dx\\\\\\ dv=\cos x\,dx&\quad\Leftarrow\quad&v=\mathrm{sen\,}x \end{array}$


Usando a fórmula de integração por partes, temos

     $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\\\ \int \cos^2 x\cdot \cos x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x-\int \mathrm{sen\,}x\cdot (-\,2\cos x\cdot \mathrm{sen\,}x)\,dx\\\\\\ \int \cos^3 x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x+2\int \mathrm{sen^2\,}x\cdot \cos x\,dx$


Agora, faça uma substituição:

     $\mathrm{sen\,}x=w\quad \Rightarrow \quad \cos x\,dx=dw$


e a integral fica

     $\displaystyle\int \cos^3 x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x+2\int w^2\,dw\\\\\\ \int \cos^3 x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x+2\cdot \frac{w^{2+1}}{2+1}+C\\\\\\ \int \cos^3 x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x+2\cdot \frac{w^3}{3}+C$

     $\displaystyle\int \cos^3 x\,dx=\cos^2 x\cdot \mathrm{sen\,}x+\dfrac{2}{3}\,\mathrm{sen^3\,}x+C$    <————    esta é a resposta,


Bons estudos! :-)