Question

[INTEGRAL] Calcule a área da região limitada pela curva dada:
a. y = x² e y = -x² + 4x

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{8}{3}$   unidades de área.

Explicação passo-a-passo:

Olá!

    Primeiramente identifique os pontos de interseção das curvas dadas:

$y=x^2\;\text{e}\;y=-x^2+4x\Rightarrow x^2=-x^2+4x\Rightarrow 2x^2-4x=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2x(x-2)=0\Rightarrow x=0\;\text{ou}\;x=2.$

   Logo, as interseções ocorrem em   $(0,0)\;\text{e}\;(2,4).$

   Dê uma olhada na figura anexa. Perceba que a área procurada pode ser encontrada calculando a área abaixo do gráfico de   $y=-x^2+4x$   (em vermelho) e subtraindo a área abaixo de   $y=x^2$   (em azul), tudo com   $x\in[0,2].$  

   Isto é: seja    $A$   a área procurada. Temos que:

$\displaystyle A=\int_0^2-x^2+4x\;dx-\int_0^2x^2\;dx=\int_0^2-x^2+4x-x^2\;dx=\\ \\ \\ = \int_0^2-2x^2+4x\;dx=\left(-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{4x^2}{2}\right)\bigg{|}_0^2=\\ \\\\ \\ = \left(-\dfrac{2\cdot 2^3}{3}+\dfrac{4\cdot 2^2}{2}\right)-0=-\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{2}=\dfrac{-32+48}{6}=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}.$

   Portanto a área procurada vale    $\dfrac{8}{3}$   unidades de área.

Bons estudos!