Question

Integral alguém me ajuda.

Answer 1

Questão 1)

Escrever em coordenadas cartesianas a integral para o volume limitado pelas superfícies

$x^2+y^2+z^2=4~~\text{ e }~~x^2+y^2=3z.$

$\bullet~~x^2+y^2+z^2=4$ é a equação de uma superfície esférica, com centro na origem e raio $2.$

$\bullet~~x^2+y^2=3z$ é um paraboloide circular (as seções paralelas ao plano $xy$ são circunferências, e as interseções como os planos coordenados $xz$ e $yz$ são parábolas)


Temos que encontrar a interseção entre as duas superfícies:

$\left\{\!\begin{array}{lc} x^2+y^2+z^2=4&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ x^2+y^2=3z&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array}\right.$


Da equação $\mathbf{(ii)},$ tiramos que na interseção das duas superfícies, $z$ não pode ser negativo.

( Na equação do paraboloide, $3z$ é a soma de dois quadrados) 


Substituindo $\mathbf{(ii)}$ em $\mathbf{(i)},$ obtemos

$3z+z^2=4\\\\ z^2+3z-4=0\\\\ z^2+4z-z-4=0\\\\ z\,(z+4)-1\,(z+4)=0\\\\ (z-1)\,(z+4)=0\\\\ z=1~~\text{ ou }~~z=-4~(\text{n\~ao serve})\\\\ \therefore~~z=1$


Então, a interseção entre as duas curvas está contida no plano horizontal $z=1.$ Substituindo esse valor em $\mathbf{(ii)},$ obtemos

$x^2+y^2=3\cdot 1\\\\ x^2+y^2=3\\\\ x^2+y^2=(\sqrt{3})^2$


A equação acima é da projeção sobre o plano $xy$ da interseção entre as duas superfícies.


A projeção do sólido sobre o plano $xy$ é o círculo de centro na origem e raio $\sqrt{3}.$

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Encontrando os extremos de integração:

$\bullet~~x$ varia entre extremos fixos (constantes):

$-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$


$\bullet~~y$ varia entre duas funções de $x.$

No plano $xy$ temos um círculo. Logo, $y$ varia entre a semicircunferência negativa até a semicircunferência positiva:

$-\sqrt{3-x^2}\le y\le \sqrt{3-x^2}$


$\bullet~~z$ varia entre duas funções de $x$ e $y.$

$z$ varia do paraboloide até a esfera: Colocando $z$ em função de $x$ e $y,$ temos

$\dfrac{1}{3}\,(x^2+y^2)\le z\le \sqrt{4-x^2-y^2}$

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Escrevendo as integrais iteradas:


O volume do sólido $D$ é dado pela integral da função constante $1:$

$\mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\iiint_{D}1\,d\mathbf{V}\\\\\\ \mathrm{Volume}(D)=\iiint_{D}1\,dz\,dy\,dx\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} \mathrm{Volume}(D)=\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\int_{-\sqrt{3-x^2}}^{\sqrt{3-x^2}}\int_{\frac{1}{3}(x^2+y^2)}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}1\,dz\,dy\,dx \end{array}}$