Question

integral 0a2pi sqrt theta ^2+1 dtheta como calcular essa integral?

Answer 1

Resolvendo a integral dada pelo método da substituição trigonométrica, temos que o resultado da mesma é igual a:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta = \pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{1}{2}\ln \left(2\pi +\sqrt{1+4\pi ^2}\right)\end{gathered}$

Desejamos resolver a seguinte integral:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta \end{gathered}$

Vamos então fazer uma substituição trigonométrica, chamando então $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \theta =\tan(\phi)\end{gathered}$, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \theta=\tan(\phi)\implies \phi=\arctan(\theta)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}d\theta=\sec^2(\phi)d\phi \end{gathered}$

E com essa substituição, temos que os novos limites de integração são:

• Quando $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \theta =2\pi\end{gathered}$: $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \phi=\arctan (2\pi)\end{gathered}\ \ \ \ \ \blacksquare$        

• Quando $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \theta =0\end{gathered}$: $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \phi=\arctan (0)=0\end{gathered}\ \ \ \blacksquare$    

Com isso, temos que nossa integral fica da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta =\int_0^{\arctan(2\pi)}\sqrt{\tan^2(\phi)+1}\cdot\sec^2(\phi)d\phi \end{gathered}$

E sabemos que $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \tan^2(\phi)+1=\sec^2(\phi) \end{gathered}$ , sendo assim:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta =\int_0^{\arctan(2\pi)}\sqrt{\sec^2(\phi)}\cdot\sec^2(\phi)d\phi \end{gathered}$

Logo, aquela raiz quadrada some ao ser cortada com o expoente, e com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta =\int_0^{\arctan(2\pi)}\sec(\phi)\cdot\sec^2(\phi)d\phi \end{gathered}$

Essa integral pode ser facilmente calculada a partir do método de integração por partes, sendo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \star\ \ u=\sec(\phi)\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \star\ \ du=\sec(\phi)\cdot \tan (\phi)d\phi\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \star\ \ dv=\sec^2(\phi)d\phi\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \star\ \ v= \tan (\phi)\end{gathered}$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int\sec^3(\phi)d\phi =\sec(\phi)\tan(\phi)-\int \sec(\phi)\tan^2(\phi)d\phi \end{gathered}$

Que também pode ser escrito da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int\sec^3(\phi)d\phi =\sec(\phi)\tan(\phi)-\int \sec(\phi)(\sec^2(\phi)-1)d\phi \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int\sec^3(\phi)d\phi =\sec(\phi)\tan(\phi)-\int \sec^3(\phi)-\sec(\phi)d\phi \end{gathered}$

E pela propriedade de integração, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 2\cdot\int\sec^3(\phi)d\phi =\sec(\phi)\tan(\phi)-\int\sec(\phi)d\phi \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int\sec^3(\phi)d\phi =\frac{\sec(\phi)\tan(\phi)-\ln|\tan(\phi)+\sec(\phi)|}{2}+C \end{gathered}$

Como nossa integral é definida, logo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta =\int_0^{\arctan(2\pi)}\sec^3(\phi)d\phi \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt =\left.\left( \frac{\sec(\phi)\tan(\phi)-\ln|\tan(\phi)+\sec(\phi)|}{2}\right)\right|_0^{\arctan(2\pi)}\end{gathered}$

E aplicando por fim o teorema fundamental do cálculo, chegamos em:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta = \frac{2\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\ln \left(2\pi +\sqrt{1+4\pi ^2}\right)}{2}\end{gathered} }$

Que simplificando fica:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_0^{2\pi}\sqrt{\theta^2+1}\ d\theta = \pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{1}{2}\ln \left(2\pi +\sqrt{1+4\pi ^2}\right)\end{gathered}$

E portanto, esse é o resultado desta integral. Obrigado :D !

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