Question

Integral ( 0 a infinito ) 10 sen(x) / x dx (resolução)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{5\pi}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte integral, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral de Dirichlet:

$I=\displaystyle{\int_0^{\infty}\dfrac{10\sin(x)}{x}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx =a\cdot \int f(x)\,dx$.

$I=\displaystyle{10\cdot\int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}\,dx$

Considere definir esta integral em relação à variável $b$: multiplique o integrando por $e^{-bx}$

$I(b)=\displaystyle{10\cdot\int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx$

Veja que o valor que buscamos é representado por $I(0)$.

Então, aplique a regra de Leibniz: dada uma integral definida de uma função de duas variáveis contínua em um intervalo fechado pode ser derivada, tal que $\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int_a^b f(x,~y)\,dy=\int_a^b\dfrac{\partial}{\partial x} ~f(x,~y)\,dy$.

Assim, derivando ambos os lados em relação a $b$, teremos:

$\dfrac{d}{db}~I(b)=\dfrac{d}{db}\left(\displaystyle{10\cdot\int_0^{\infty}\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx\right)$

Aplique a propriedade da constante: $\dfrac{d}{dx}(a\cdot f(x))=a\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))$ e a regra de Leibniz

$I'(b)=\displaystyle{10\cdot\int_0^{\infty}\dfrac{\partial}{\partial b}~\dfrac{\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx$

Calcule a derivada parcial

$I'(b)=\displaystyle{10\cdot\int_0^{\infty}\dfrac{(-x)\cdot\sin(x)\cdot e^{-bx}}{x}\,dx$

Simplifique a fração

$I'(b)=\displaystyle{-10\cdot\int_0^{\infty}\sin(x)\cdot e^{-bx}\,dx$

Aplique a técnica de integração por partes: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

Como critério de escolha para $u$, utilizamos a propriedade LIATE: dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Então, seja $u=\sin(x)$ e $dv=e^{-bx}\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ para encontrarmos o diferencial e integramos $dv$:

$u'=(\sin(x))'\\\\\\ du=\cos(x)\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{-bx}\,dx}\\\\\\ v=-\dfrac{e^{-bx}}{b}$

Assim, nossa integral se torna:

$I'(b)=\displaystyle{-10\cdot\left[\sin(x)\cdot\left(-\dfrac{e^{-bx}}{b}\right)-\int -\dfrac{e^{-bx}}{b}\cdot \cos(x)\,dx\right]}~\biggr|_0^{\infty}$

Multiplique os valores entre parênteses

$I'(b)=\displaystyle{-10\cdot\left[-\dfrac{\sin(x)\,e^{-bx}}{b}+\int \dfrac{e^{-bx}}{b}\cdot \cos(x)\,dx\right]}~\biggr|_0^{\infty}$

Novamente, aplique a técnica de integração por partes, de forma que $u=\cos(x)$ e $dv=\dfrac{e^{-bx}}{b}$.

$I'(b)=\displaystyle{-10\cdot\left[-\dfrac{\sin(x)\,e^{-bx}}{b}+\cos(x)\cdot\left(-\dfrac{e^{-bx}}{b^2}\right)-\int -\dfrac{e^{-bx}}{b^2}\cdot(-\sin(x)\,dx)\right]}~\biggr|_0^{\infty}$

Acompanhe o restante da solução em anexo: