Question

integrais tripas [1,3]×[1,2]×[1,2] qual volume dessa região?

Answer 1

• O volume dessa região é igual a 2 unidades de volume.

A integral tripla, assim como a dupla, é calculada pelo Teorema de Fubini. Que diz que podemos inverter a ordem de integração. Ou seja, não importa se começarmos do x ou do y ou do z, sempre dará o mesmo resultado. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\left[\int_1^2\left(\int_1^2 \ dx\right)dy\right]dz\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\left[\int_1^2\left((2)-(1)\right)dy\right]dz\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\left[\int_1^2dy\right]dz\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\left[(2)-(1)\right]dz\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\ dz\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}V=\int _1^3\ dz\Leftrightarrow (3)-(1) = 2\end{aligned}$

• Portanto, o volume dessa região calculado por meio daquela integral tripla é igual a:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\green{V=\int _1^3\int_1^2\int_1^2 \ dxdydz\Leftrightarrow 2\ u.v}}}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Teorema de Fubini.

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